Question

已知|

a

|=1，|

b

|=2，

a

與

b

的夾角為

π

3

．
（Ⅰ）求

a

•

b

；
（Ⅱ）向量

a

+λ

b

與向量λ

a

-

b

的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：求出兩個(gè)向量的數(shù)量積；由向量的數(shù)量積公式將兩個(gè)向量所成的角為鈍角轉(zhuǎn)化為數(shù)量積小于0且不為反向．

解答：解：（Ⅰ）

a

•

b

=|

a

| × |

b

| cos

π

3

=2×1×

1

2

=1．
（Ⅱ）（

a

+λ

b

）•（λ

a

-

b

）=λ

a

²+（λ²-1）•

a

•

b

-λ

b

²=λ+λ²-1-4λ=λ²-3λ-1．
因?yàn)?span id="3nz77eg" class="MathJye">

a

+λ

b

與向量λ

a

-

b

的夾角為鈍角的夾角為鈍角，
所以（

a

+λ

b

）•(λ

a

-

b)

＜0，
令λ²-3λ-1＜0，得

3- 13

2

＜λ＜

3+ 13

2

．
經(jīng)驗(yàn)證此時(shí)(

a

+λ

b)

與(λ

a

-

b)

不反向．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積公式、考查利用向量的數(shù)量積公式解決向量的夾角問題，以及鈍角的余弦值的范圍，解不等式求出參數(shù)的范圍．