Question

已知曲線f（x）=

1

3

x³-

a

2

x²+bx+c（a≥0）在x=0處的切線方程y=1．
（1）求實數(shù)b，c的值；
（2）若過點(diǎn)（0，2）可作曲線y=f（x）的三條不同的切線，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用曲線f（x）=

1

3

x³-

a

2

x²+bx+c（a≥0）在x=0處的切線方程y=1，列出方程解出a、b、c，從而確定解析式；
（2）構(gòu)建函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值和極小值，數(shù)形結(jié)合解決．

解答：解：（1）求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=x²-ax+b，
∵曲線f（x）=

1

3

x³-

a

2

x²+bx+c（a≥0）在x=0處的切線方程y=1，
∴f′（0）=b=0，f（0）=c=1
∴b=0，c=1；
（2）由題意f′（x）=x2-ax．由于點(diǎn)（t，f（t））處的切線方程為y-f（t）=f'（t）（x-t），而點(diǎn)（0，2）在切線上，所以2-f（t）=f'（t）（-t），所以

2

3

t3-

1

2

at2+1=0
設(shè)g（t）=

2

3

t3-

1

2

at2+1，則
過點(diǎn)（0，2）可作y=f（x）的三條切線，等價于方程2-f（t）=f'（t）（0-t）有三個相異的實根，即等價于方程

2

3

t3-

1

2

at2+1=0有三個相異的實根由于a＞0，故有

由g（t）的單調(diào)性知：要使g（t）=0有三個相異的實根，則g（

a

2

）=-

a3

24

+1＜0
∴a＞2

3	3

．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用以及數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用能力，對學(xué)生有一定的能力要求，有一定的難度