Question

12．設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（2）=0，當x＞0時，有xf'（x）+f（x）＜0恒成立，則不等式xf（x）＞0的解集是（　�。�

• A． （-2，0）∪（2，+∞）
• B． （-2，2）
• C． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• D． （-2，0）∪（0，2）

Answer 1

分析 由題意構(gòu)造函數(shù)g（x）=xf （x），再由導函數(shù)的符號判斷出函數(shù)g（x）的單調(diào)性，由函數(shù)f（x）的奇偶性得到函數(shù)g（x）的奇偶性，由f（2）=0得g（2）=0、還有g(shù)（0）=0，再通過奇偶性進行轉(zhuǎn)化，利用單調(diào)性求出不等式得解集．

解答 解：令g（x）=xf（x），g′（x）=xf'（x）+f（x）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）遞減，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
∴g（-x）=-xf（-x）=xf（x）=g（x），
∴g（x）在R是偶函數(shù)，
∴g（x）在（-∞，0）遞增，
而f（2）=0，故g（2）=g（-2）=0，
∴不等式xf（x）＞0，
∴g（x）＜g（2），∴|x|＜2，
解得：-2＜x＜2，
而x=0時，g（x）=0，
故不等式的解集是（-2，0）∪（0，2），
故選：D．

點評 本題考查了由條件構(gòu)造函數(shù)和用導函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系對不等式進行轉(zhuǎn)化，注意函數(shù)值為零的自變量的取值．