Question

給出下列四個(gè)向量：
①命題“?x∈R，x²+1＞3x”的否定是“?x∈R，x²+1≤3x”；
②“m=-2”是“直線（m+2）x+my+1=0與直線（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的必要不充分條件；
③設(shè)圓x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0）與坐標(biāo)軸有4個(gè)交點(diǎn)，分別為A（x₁，0），B（x₂，0），C（0，y₁），D（0，y₂），則x₁x₂-y₁y₂=0；
④對?x∈R⁺，不等式x≥a

x

-1恒成立，則a≤2
其中所有真命題的序號是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,直線與圓,簡易邏輯

分析：①，寫出命題“?x∈R，x²+1＞3x”的否定，再判斷即可；
②，依題意可得（m+2）（m-2）+m（m+2）=0，解得m=-2或m=1，利用充分必要條件的概念可判斷②；
③，依題意可知，x₁、x₂是方程x²+Dx+F=0的兩根，y₁、y₂是方程y²+Ey+F=0的兩根，利用韋達(dá)定理可求得x₁x₂與y₁y₂，可判斷③；
④，令

x

=t，由x∈R⁺，知t＞0；則a≤t+

1

t

恒成立，利用雙鉤函數(shù)的性質(zhì)（或基本不等式）可求得a≤2，可判斷④．

解答： 解：對于①：命題“?x∈R，x²+1＞3x”的否定是“?x∈R，x²+1≤3x”，故①正確；
對于②：直線（m+2）x+my+1=0與直線（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂⇒（m+2）（m-2）+m（m+2）=0，解得m=-2或m=1，
所以，“m=-2”是“直線（m+2）x+my+1=0與直線（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的充分不必要條件，故②錯(cuò)誤；
對于③：因?yàn)閳Ax²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0）與坐標(biāo)軸有4個(gè)交點(diǎn)，分別為A（x₁，0），B（x₂，0），C（0，y₁），D（0，y₂），
所以，x₁、x₂是方程x²+Dx+F=0的兩根，所以x₁x₂=-F；
同理可知，y₁、y₂是方程y²+Ey+F=0的兩根，所以y₁y₂=F，
所以x₁x₂-y₁y₂=0，故③正確；
對于④：因?yàn)閷?x∈R⁺，不等式x≥a

x

-1恒成立，令

x

=t，由x∈R⁺，知t＞0；
所以，t²+1≥at恒成立，即a≤t+

1

t

恒成立，
當(dāng)t＞0時(shí)，t+

1

t

≥2

t• 1 t

=2，即（t+

1

t

）_min=2，
所以a≤2，故④正確．
綜上所述，所有真命題的序號是①③④．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，主要考查全稱命題與特稱命題之間的關(guān)系、充分必要條件的概念及其應(yīng)用，綜合考查直線與圓的位置關(guān)系、基本不等式的應(yīng)用，考查恒成立問題與轉(zhuǎn)化思想．