Question

11．在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥BD，∠DAB=60°，AE⊥BD，CB=CD=AE=DE=1；
（Ⅰ）求證：BD⊥平面AED；
（2）求直線AB與平面BDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）利用等腰梯形知識得出AD⊥BD，結(jié)合AE⊥BD得出BD⊥平面ADE；
（2）取DE的中點F，連結(jié)AF，BF，則可證AF⊥平面BDE，故∠ABF為AB與平面BDE所成的角，利用勾股定理計算出AF，AB即可得出sin∠ABF．

解答 證明：（1）∵等腰梯形ABCD中，AB∥BD，∠DAB=60°，∴∠ADC=∠DCB=120°，
∵BC=CD，∴∠CDB=∠DBC=30°，
∴∠ADB=120°-30°=90°，∴AD⊥BD．
又AE⊥BD，AE?平面ADE，AD?平面ADE，AE∩AD=A，
∴BD⊥平面ADE．
（2）取DE的中點F，連結(jié)AF，BF．
∵BD⊥平面ADE，AF?平面ADE，
∴AF⊥BD，
AE=DE=AD，∴AF⊥DE，
又DE?平面BDE，BD?平面BDE，BD∩DE=D，
∴AF⊥平面BDE，
∴∠ABF為AB與平面BDE所成的角．
∵AD=1，∠DAB=60°，AD⊥BD，∴AB=2AD=2，
∵△ADE為邊長為1的等邊三角形，∴AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴sin∠ABF=$\frac{AF}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，線面角的計算，屬于中檔題．