Question

7．如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，側(cè)棱SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=2，AD=1．
（1）求四棱柱S-ABCD的體積；
（2）求點B到平面SCD的距離；
（3）求面SCD與面SAB所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）先求出底面ABCD的面積，由四棱錐S-ABCD的體積V_S-ABCD=$\frac{1}{3}$×S_梯形ABCD×SA，能求出結(jié)果．
（2）利用等體積，求點B到平面SCD的距離；
（3）以A為原點，AD、AB、AS所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出面SCD與面SAB所成二面角的余弦值．

解答 解：（1）∵在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，
側(cè)棱SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=2，AD=1，
∴S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}×（1+2）×2$=3，
∴四棱錐S-ABCD的體積V_S-ABCD=$\frac{1}{3}×3×2$=2．
（2）△SDC中，SD=DC=$\sqrt{5}$，SC=2$\sqrt{3}$，S_△SDC=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\sqrt{12-\frac{5}{4}}$=$\frac{\sqrt{129}}{2}$，
設(shè)點B到平面SCD的距離為h，則$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{129}}{2}h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2$，
∴h=$\frac{8\sqrt{129}}{129}$；
（2）如圖，以A為原點，AD、AB、AS所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，
A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，0，0），S（0，0，2），
平面SAB的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（1，0，0），
又$\overrightarrow{SC}$=（2，2，-2），$\overrightarrow{SD}$=（1，0，-2），
設(shè)平面SCD的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y-2z=0}\\{x-2z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（2，-1，1），
設(shè)面SCD與面SAB所成二面角的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴面SCD與面SAB所成二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題主要考查空間直線和直線的垂直判斷，點到平面距離的計算以及空間二面角的求解，要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理以及，空間向量與二面角的關(guān)系．