Question

8．已知函數(shù)f（x）=|x+m|+|2x+1|．
（1）當m=-1時，解不等式f（x）≤3；
（2）若m∈（-1，0]，求函數(shù)f（x）=|x+m|+|2x+1|的圖象與直線y=3圍成的多邊形面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用絕對值的幾何意義，分類討論解不等式f（x）≤3；
（2）由題意，m=0時，函數(shù)f（x）=|x+m|+|2x+1|的圖象與直線y=3圍成的多邊形面積取得最大值．

解答 解：（1）當m=-1時，不等式f（x）≤3，可化為|x-1|+|2x+1|≤3，
x$≤-\frac{1}{2}$時，-x+1-2x-1≤3，∴x≥-1，∴-1≤x$≤-\frac{1}{2}$；
-$\frac{1}{2}＜x＜1$時，-x+1+2x+1≤3，∴x≤1，∴-$\frac{1}{2}＜x＜1$；
x≥1時，x-1+2x+1≤3，∴x≤1，∴x=1；
綜上所述，-1≤x≤1；
（2）由題意，m=0時，函數(shù)f（x）=|x+m|+|2x+1|的圖象與直線y=3圍成的多邊形面積取得最大值．

圖象最低點的坐標是（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），f（x）=1時，x=0或-$\frac{2}{3}$，f（x）=3時，x=-$\frac{4}{3}$或$\frac{2}{3}$，
∴函數(shù)f（x）=|x+m|+|2x+1|的圖象與直線y=3圍成的多邊形面積的最大值為$\frac{\frac{2}{3}+2}{2}×2+\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{17}{6}$．

點評 本題考查絕對值不等式，考查數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學思想，正確分類討論是關(guān)鍵．