Question

13．已知數(shù)列{a_n}與{b_n}滿足a_n+1-a_n=2（b_n+1-b_n），n∈N^*．
（1）若b_n=3n+5，且a₁=1，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)a₁=λ＜0，b_n=λⁿ（n∈N^*），求λ的取值范圍，使得{a_n}有最大值M與最小值m，且$\frac{M}{m}$∈（-2，2）．

Answer 1

分析 （1）把b_n=3n+5代入a_n+1-a_n=2（b_n+1-b_n），可得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，并求得公差，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（2）由a₁=λ＜0，b_n=λⁿ，可得${a}_{n}=2{λ}^{n}-λ$，然后分-1＜λ＜0，λ=-1，λ＜-1三種情況求得a_n的最大值M和最小值m，再列式求得λ的范圍．

解答 解：（1）∵a_n+1-a_n=2（b_n+1-b_n），b_n=3n+5，
∴a_n+1-a_n=2（b_n+1-b_n）=2（3n+8-3n-5）=6，
∴{a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為a₁=1，公差為6，
則a_n=1+6（n-1）=6n-5；
（2）∵b_n=λⁿ，∴a_n+1-a_n=2（b_n+1-b_n）=2（λⁿ⁺¹-λⁿ），
當(dāng)n≥2時，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2（λⁿ-λ^n-1）+2（λ^n-1-λ^n-2）+…+2（λ²-λ）+λ=2λⁿ-λ．
當(dāng)n=1時，a₁=λ適合上式，
∴${a}_{n}=2{λ}^{n}-λ$．
∵λ＜0，∴${a}_{2n}=2{λ}^{2n}-λ＞-λ$，${a}_{2n-1}=2{λ}^{2n-1}-λ＜-λ$．
①當(dāng)λ＜-1時，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知數(shù)列{a_n}不存在最大值和最小值；
②當(dāng)λ=-1時，數(shù)列{a_n}的最大值為3，最小值為-1，而$\frac{3}{-1}=-3$∉（-2，2）；
③當(dāng)-1＜λ＜0時，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，數(shù)列{a_n}的最大值M=a₂=2λ²-λ，
最小值m=a₁=λ．
由$\left\{\begin{array}{l}{-1＜λ＜0}\\{-2＜\frac{2{λ}^{2}-λ}{λ}＜2}\end{array}\right.$，解得$-\frac{1}{2}＜λ＜0$．
綜上所述，λ∈（-$\frac{1}{2}$，0）時滿足條件．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．