Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ax}{e^x}$+b的圖象在點(diǎn)P（0，f（0））處的切線為y=x．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=k有兩個(gè)不等實(shí)根x₁，x₂，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若x₀=$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$，求證：f'（x₀）＜0．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)f（x）=$\frac{ax}{e^x}$+b的圖象在點(diǎn)P（0，f（0））處的切線為y=x，求出a，b，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）確定函數(shù)f（x）的最大值為f（1）=$\frac{1}{e}$，x→+∞，f（x）→0，x→-∞，x＜0，利用關(guān)于x的方程f（x）=k有兩個(gè)不等實(shí)根x₁，x₂，即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）不妨設(shè)0＜x₁＜1＜x₂，先證明f（1+t）＞f（1-t），對(duì)t∈（0，1）恒成立，再利用x＞1，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，即可證明結(jié)論．

解答 （1）解：由題意，f′（x）=$\frac{a-ax}{{e}^{x}}$，
∵函數(shù)f（x）=$\frac{ax}{e^x}$+b的圖象在點(diǎn)P（0，f（0））處的切線為y=x，
∴f（0）=b=0，f′（0）=a=1，
∴f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$；
（2）解：由（1）f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，x＜1，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
x＞1，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
∴函數(shù)f（x）的最大值為f（1）=$\frac{1}{e}$，
∵x→+∞，f（x）→0，x→-∞，x＜0，關(guān)于x的方程f（x）=k有兩個(gè)不等實(shí)根x₁，x₂，
∴0＜k＜$\frac{1}{e}$；
（3）證明：不妨設(shè)0＜x₁＜1＜x₂，先證明f（1+t）＞f（1-t），對(duì)t∈（0，1）恒成立，
只要證明（1+t）e^-（1+t）＞（1-t）e^-（1-t），
只要證明ln（1+t）-ln（1-t）-2t＞0．
令g（t）=ln（1+t）-ln（1-t）-2t，t∈（0，1）
則g′（t）=$\frac{2{t}^{2}}{1-{t}^{2}}$＞0，
∴g（t）在（0，1）上單調(diào)遞增，
∴g（t）＞g（0）=0．
∵0＜x₁＜1＜x₂，
∴2-x₁＞1，
∴f（x₂）=f（x₁）＜f（2-x₁），
∵x＞1，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
∴x₂＞2-x₁，
∴x₁+x₂＞2，
∴x₀=$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$＞1，∴f'（x₀）＜0．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等．