Question

已知遞增等比數(shù)列{a_n}的第三項(xiàng)、第五項(xiàng)、第七項(xiàng)的積為512，且這三項(xiàng) 分別減去1，3，9后成等差數(shù)列．
（1）求{a_n}的首項(xiàng)和公比；
（2）設(shè)S_n=a₁²+a₂²+…+a_n²，求S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,數(shù)列的求和

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)題意利用等比數(shù)列的性質(zhì)，可得a₅³=512，解出a₅=8．設(shè)公比為q，得a₃=

8

q2

且a₇=8q²，由等差中項(xiàng)的定義建立關(guān)于q的方程，解出q的值，進(jìn)而可得{a_n}的首項(xiàng)；
（2）由（1）得a_n=a₁•q^n-1=(

2

)n+1，從而得到a_n²=[(

2

)n+1]²=2ⁿ⁺¹，再利用等比數(shù)列的求和公式加以計(jì)算，可得求S_n的表達(dá)式．

解答： 解：（1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得a₃•a₅•a₇=a₅³=512，解之得a₅=8．
設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，則a₃=

8

q2

，a₇=8q²，
由題設(shè)可得（

8

q2

-1）+（8q²-9）=2（8-3）=10
解之得q²=2或

1

2

．
∵{a_n}是遞增數(shù)列，可得q＞1，∴q²=2，得q=

2

．
因此a₅=a₁q⁴=4a₁=8，解得a₁=2；
（2）由（1）得{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=a₁•q^n-1=2×(

2

)n-1=(

2

)n+1，
∴a_n²=[(

2

)n+1]²=2ⁿ⁺¹，
可得{a_n²}是以4為首項(xiàng)，公比等于2的等比數(shù)列．
因此S_n=a₁²+a₂²+…+a_n²=

4(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺²-4．

點(diǎn)評(píng)：本題給出等比數(shù)列的滿足的條件，求它的通項(xiàng)公式并求{a_n²}的前n項(xiàng)之和．著重考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)與性質(zhì)、等差中項(xiàng)的定義和等比數(shù)列的前n項(xiàng)之和公式等知識(shí)，屬于中檔題．