Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f（x）=x²-x-1．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求不等式f（x）＜1的解集．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，可得：f（0）=0；當(dāng)x＜0時，-x＞0，結(jié)合x＞0時，f（x）=x²-x-1，及f（-x）=-f（x）可得x＜0時，函數(shù)的解析式，最后綜合討論結(jié)果，可得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）分當(dāng)x＞0時，當(dāng)x=0時，和當(dāng)x＜0時三種情況，求解不等式f（x）＜1，最后綜合討論結(jié)果，可得不等式f（x）＜1的解集．

解答： 解：（1）∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f（x）=x²-x-1．
∴f（0）=0，
當(dāng)x＜0時，-x＞0，
f（-x）=x²+x-1=-f（x）．
∴f（x）=-x²-x+1，
∴f（x）=

-x2-x+1，x＜0 0，x=0 x2-x-1，x＞0

，
（2）當(dāng)x＞0時，解f（x）=x²-x-1＜1得：0＜x＜2；
當(dāng)x=0時f（0）=0＜1符合題意；
當(dāng)x＜0時，解f（x）=-x²-x+1＜1得：x＜-1；
綜上所述，不等式f（x）＜1的解集為：（-∞，-1）∪[0，2）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)奇偶生的性質(zhì)，函數(shù)解析式的求法，熟練掌握函數(shù)奇偶性的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．