Question

18．雙曲線x²-y²=2016的左、右頂點分別為A₁、A₂，P為其右支上一點，且P不在x軸上，若∠A₁PA₂=4∠PA₁A₂，則∠PA₁A₂等于（　　）

• A． $\frac{π}{12}$
• B． $\frac{π}{36}$
• C． $\frac{π}{18}$
• D． 無法確定

Answer 1

分析 設(shè)P（x，y），y＞0，過點P作x軸的垂線PH，垂足為H，則可得tan∠PA₁H•tan∠PA₂H=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-{a}^{2}}$=1，利用∠A₁PA₂=4∠PA₁A₂，即可求∠PA₁A₂的值．

解答 解：如圖，
設(shè)P（x，y），y＞0，過點P作x軸的垂線PH，垂足為H，
則tan∠PA₁H=$\frac{y}{x+a}$，tan∠PA₂H=$\frac{y}{x-a}$（ 其中a²=2016）．
∴tan∠PA₁H•tan∠PA₂H=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-{a}^{2}}$=1．
∴∠PA₁H+∠PA₂H=$\frac{π}{2}$，
設(shè)∠PA₁A₂=α，則∠PA₂H=5α，∴α+5α=$\frac{π}{2}$，則α=$\frac{π}{12}$，
即∠P${A}_{1}{A}_{2}=\frac{π}{12}$．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查正切函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．