【題目】如圖,在正四棱柱中,已知AB=2, ,
E、F分別為、上的點,且.
(1)求證:BE⊥平面ACF;
(2)求點E到平面ACF的距離.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】
分析:(1)以為原點,所在直線分別為軸建立空間直角坐標系,寫出要用的點的坐標,要證明線與面垂直,只需證明這條直線與平面上的兩條直線垂直即可;(2)為平面的一個法向量,向量在上的射影長即為到平面的距離,根據(jù)點到面的距離公式可得到結論.
詳解:(1)證明:以D為原點,DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標系,則D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、D1(0,0,5)、E(0,0,1)、F(2,2,4).
∴=(-2,2,0)、=(0,2,4)、=(-2,-2,1)、=(-2,0,1).
∵·=0,·=0,
∴BE⊥AC,BE⊥AF,且AC∩AF=A.
∴BE⊥平面ACF.
(2)由(1)知,為平面ACF的一個法向量,
∴點E到平面ACF的距離d==.
故點E到平面ACF的距離為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知E,F(xiàn)分別為正方體ABCD﹣A1B1C1D的棱AB,AA1上的點,且AE=AB,AF=AA1 , M,N分別為線段D1E和線段C1F上的點,則與平面ABCD平行的直線MN有( 。
A.1條
B.3條
C.6條
D.無數(shù)條
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)記函數(shù)的導函數(shù),當且時,證明:.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩家外賣公司,其送餐員的日工資方案如下:甲公司的底薪70元,每單抽成4元;乙公司無底薪,40單以內(nèi)(含40單)的部分每單抽成5元,超出40單的部分每單抽成7元,假設同一公司送餐員一天的送餐單數(shù)相同,現(xiàn)從兩家公司各隨機抽取一名送餐員,并分別記錄其100天的送餐單數(shù),得到如表頻數(shù)表: 甲公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表
送餐單數(shù) | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 |
天數(shù) | 20 | 40 | 20 | 10 | 10 |
乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表
送餐單數(shù) | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 |
天數(shù) | 10 | 20 | 20 | 40 | 10 |
(Ⅰ)現(xiàn)從甲公司記錄的100天中隨機抽取兩天,求這兩天送餐單數(shù)都大于40的概率;
(Ⅱ)若將頻率視為概率,回答下列問題:
(i)記乙公司送餐員日工資為X(單位:元),求X的分布列和數(shù)學期望;
(ii)小明擬到甲、乙兩家公司中的一家應聘送餐員,如果僅從日工資的角度考慮,請利用所學的統(tǒng)計學知識為他作出選擇,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx-1,當x=-2時有極值,且在x=-1處的切線的斜率為-3.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式.
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上的最大值與最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某高校共有15000人,其中男生10500人,女生4500人,為調(diào)查該校學生每周平均體育運動時間的情況,采用分層抽樣的方法,收集300位學生每周平均體育運動時間的樣本數(shù)據(jù)(單位:小時)
(1)應收集多少位女生樣本數(shù)據(jù)?
(2)根據(jù)這300個樣本數(shù)據(jù),得到學生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為:.估計該校學生每周平均體育運動時間超過4個小時的概率.
(3)在樣本數(shù)據(jù)中,有60位女生的每周平均體育運動時間超過4個小時.請完成每周平均體育運動時間與性別的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關”.
附:
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
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