Question

【題目】對于定義城為R的函數(shù)，若滿足：①；②當，且時，都有；③當且時，都有，則稱為“偏對稱函數(shù)”.下列函數(shù)是“偏對稱函數(shù)”的是（ ）

A.B.

C.D.

Answer 1

【答案】BC

【解析】

運用新定義，分別討論四個函數(shù)是否滿足三個條件，結(jié)合奇偶性和單調(diào)性，以及對稱性，即可得到所求結(jié)論．

解：經(jīng)驗證，，，，都滿足條件①；

，或；

當且時，等價于，

即條件②等價于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；

A中，，，則當時，由，得，不符合條件②，故不是“偏對稱函數(shù)”；

B中，，，當時，，，當時，，，則當時，都有，符合條件②，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

由的單調(diào)性知，當時，，

∴，

令，，，

當且僅當即時，“”成立，

∴在，上是減函數(shù)，∴，即，符合條件③，

故是“偏對稱函數(shù)”；

C中，由函數(shù)，當時，，當時，，符合條件②，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

有單調(diào)性知，當時，，

設，，則，

在上是減函數(shù)，可得，

∴，

即，符合條件③，故是“偏對稱函數(shù)”；

D中，，則，則是偶函數(shù)，

而 （），則根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可知，當時，的符號有正有負，不符合條件②，故不是“偏對稱函數(shù)”；

故選：BC．