Question

要獲得某項(xiàng)英語資格證書必須依次通過聽力和筆試兩項(xiàng)考試，只有聽力成績合格時(shí)，才可繼續(xù)參加筆試的考試．已知聽力和筆試各只允許有一次不考機(jī)會，兩項(xiàng)成績均合格方可獲得證書．現(xiàn)某同學(xué)參加這項(xiàng)證書考試，根據(jù)以往模擬情況，聽力考試成績每次合格的概率均為

2

3

，筆試考試成績每次合格的概率均為

1

2

，假設(shè)各次考試成績合格與否均互不影響．
（1）求他不需要補(bǔ)考就可獲得證書的概率；
（2）求他恰好補(bǔ)考一次就獲得證書的概率；
（3）在這項(xiàng)考試過程中，假設(shè)他不放棄所有的考試機(jī)會，記他參加考試的次數(shù)為ξ，求參加考試次數(shù)ξ的分布列和期望值．

Answer 1

分析：設(shè)“聽力第一次考試合格”為事件A₁，“聽力補(bǔ)考合格”為事件A₂；“筆試第一次考試合格”為事件B₁“筆試補(bǔ)考合格”為事件B₂
（1）不需要補(bǔ)考就獲得證書的事件為．A₁•B₁，且A₁與B₁相互獨(dú)立，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式可求
（2）他恰好補(bǔ)考一次就獲得證書，即為事件

.

A1

A2B1+A1

.

B1

B2，根據(jù)相互獨(dú)立事件與互斥事件的概率公式可求
（3）由已知得，ξ=2，3，4
而ξ=2即為A1•B1 +

.

A1

•

.

A2

        ξ=3 即為 A₁•

B1

•

B2

+

A1

•A₂•B₂
ξ=4，即為

A1

•A₂•

B2

•B₂+

A1

•

.

A2

•

B1

•

B2

解答：解：設(shè)“聽力第一次考試合格”為事件A₁，“聽力補(bǔ)考合格”為事件A₂；“筆試第一次考試合格”為事件B₁“筆試補(bǔ)考合格”為事件B₂．（1分）
（1）不需要補(bǔ)考就獲得證書的事件為A₁•B₁，注意到A₁與B₁相互獨(dú)立，
則P（A₁•B₁）=P（A₁）×P（B₁）=

2

3

×

1

2

=

1

3

．A₁•B₁
答：該考生不需要補(bǔ)考就獲得證書的概率為

1

3

．（3分）
（2）恰好補(bǔ)考一次的事件是

.

A1

A2B1+A1

.

B1

B2（4分）
則P（

.

A1

A2B1+A1

.

B1

B2）=P（

.

A1

A2B1）+P（A1

.

B1

B2）
=

1

3

•

2

3

•

1

2

+

2

3

•

1

2

•

1

2

=

15

54

=

5

18

（7分）
（3）由已知得，ξ=2，3，4，（8分）
注意到各事件之間的獨(dú)立性與互斥性，可得
P（ξ=2）=P（A₁•B₁）+P（

A1

•

A2

）=

2

3

×

1

2

+

1

3

×

1

3

=

1

3

+

1

9

=

4

9

（10分）
P（ξ=3）=P（A₁•

B1

•

B2

）+P（

A1

•A₂•B₂）=

2

3

×

1

2

×

1

2

+

2

3

×

1

2

×

1

2

+

1

3

×

2

3

×

1

2

=

4

9

（12分）
P（ξ=4）=P（

A1

•A₂•

B2

•B₂）+P（

A1

•A₂•

B1

•

B2

）=

1

3

×

2

3

×

1

2

×

1

2

+

1

3

×

2

3

×

1

2

×

1

2

=

1

18

+

1

18

=

1

9

（13分）
參加考試次數(shù)ξ的期望值Eξ=2×

4

9

+3×

4

9

+4×

1

9

=

8

3

（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查了相互獨(dú)立事件的 概率的求解公式的運(yùn)用：若事件A，B相互獨(dú)立，則A與

.

B

，

.

A

與

.

B

.

A

與B相互獨(dú)立；P（AB）=P（A）P（B）；還考查了對一些復(fù)雜事件的分解：即對一個(gè)事件分解成幾個(gè)互斥事件的和，本題是把相互獨(dú)立與互斥結(jié)合的綜合考查．