Question

17．已知曲線C₁的極坐標方程為ρcosθ-ρsinθ+2=0，曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)），將曲線C₂上的所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?\frac{3}{2}$倍，得到曲線C₃．
（1）寫出曲線C₁的參數(shù)方程和曲線C₃的普通方程；
（2）已知點P（0，2），曲線C₁與曲線C₃相交于A，B，求|PA|+|PB|．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ化直線方程為普通方程，寫出過P（0，2）的直線參數(shù)方程，由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=3sinα}\end{array}\right.$，運用同角平方關(guān)系化為普通方程；
（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線C₃的普通方程，可得t的方程，運用韋達定理和參數(shù)的幾何意義，即可得到所求和．

解答 解：（1）曲線C₁的極坐標方程為ρcosθ-ρsinθ+2=0，
可得普通方程為x-y+2=0，
則C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
由曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
可得$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=3sinα}\end{array}\right.$，
即有C₃的普通方程為x²+y²=9．…（5分）
（2）C₁的標準參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
與C₃聯(lián)立可得t²+2$\sqrt{2}$t-5=0，
令|PA|=|t₁|，|PB|=|t₂|，由韋達定理，
則有t₁+t₂=-2$\sqrt{2}$，t₁t₂=-5，
則|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$
=$\sqrt{8-4×（-5）}$=2$\sqrt{7}$…（10分）

點評 本題考查極坐標方程、參數(shù)方程和普通方程的互化，考查直線的參數(shù)方程的運用，考查運算能力，屬于中檔題．