已知函數(shù)f(x)=|x2-x-6|
(1)作出函數(shù)f(x)的圖象,指出函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若對任意x1,x2∈[t,t+1],且x1≠x2,都有
f(x1)-f(x2)x1-x2
>0
成立,試求實數(shù)t的取值范圍.
分析:(1)利用絕對值的幾何意義,我們可以把函數(shù)寫出分段函數(shù)的形式,這樣就可以作出函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)依題意可知:f(x)在[t,t+1]上是增函數(shù),利用(1)的結(jié)論,可以結(jié)論不等式,這樣就能求實數(shù)t的取值范圍.
解答:解:函數(shù)f(x)=|x2-x-6|=
x2-x-6,x≤-2或x≥3
-x2+x+6,-2<x<3
,作出圖象如下:

根據(jù)圖象可知,單調(diào)遞增區(qū)間為[3,+∞)和[-2,
1
2
)
…(5分)
(2)依題意,對任意x1,x2∈[t,t+1],且x1≠x2,都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
>0
成立
可知:f(x)在[t,t+1]上是增函數(shù),所以t≥3或
t≥-2
t+1≤
1
2
,解得-2≤t≤-
1
2
,
所以t∈[-2,-
1
2
]∪[3,+∞)
…(8分)
點(diǎn)評:絕對值函數(shù)的研究,通常都是將絕對值符號化去,轉(zhuǎn)化為常見初等函數(shù),利用函數(shù)的圖象可以確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)
的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱,求φ的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時,f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
(1)求x<0,時f(x)的表達(dá)式;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)-a=o有解,求實數(shù)a的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=aInx-ax,(a∈R)
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(文科可參考公式:(Inx)=
1
x

(2)若f′(2)=1,記函數(shù)g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調(diào),求實數(shù)m的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線l與直線3x-y+2=0平行,若數(shù)列{
1
f(n)
}
的前n項和為Sn,則S2010的值為( �。�
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù),且對于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實數(shù)a的取值范圍是
 

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