【題目】如圖,在斜三棱柱,底面為正三角形,, ,

.

(1)求異面直線所成角的余弦值;

(2)設(shè)的中點(diǎn),求面與面所成角的正弦值.

【答案】1所成角的余弦值為0. 2

【解析】試題分析:(1)可設(shè),取的中點(diǎn),連接,先證明,再由面面垂直的性質(zhì)可得,因此兩兩互相垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn), 為正交基底,建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出, ,可得,從而得異面直線所成角的余弦值;(2)利用向量垂直數(shù)量積為零列方程組,分別求出平面的一個(gè)法向量與平面的一個(gè)法向量,利用空間向量夾角的余弦公式可得面與面所成角的余弦值,進(jìn)而可得正弦值.

試題解析:不妨設(shè),取的中點(diǎn),連接

因?yàn)榈酌?/span>為正三角形,則,且,

因?yàn)?/span>,所以,

又因?yàn)?/span> ,面 ,

所以,因此兩兩互相垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn), 為正交基底,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則

,

,

1由已知得 ,

,即,所以,

所以所成角的余弦值為0.

2由已知得, ,設(shè)平面的法向量

,即,令,則

即平面一個(gè)法向量;

, ,設(shè)平面的法向量,則

,即,令,則

即平面一個(gè)法向量;

,記面與面所成的角為, ,則

,所以

所以,面與面所成角的正弦值為 .

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用空間向量求二面角,利用空間向量求異面直線所成的角,屬于難題. 空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出相應(yīng)直線的方向向量;(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,直線lyxb (b>0),拋物線Cy22px(p>0),已知點(diǎn)P(2,2)在拋物線C上,且拋物線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值為.

(1)求直線l及拋物線C的方程;

(2)過點(diǎn)Q(2,1)的任一直線(不經(jīng)過點(diǎn)P)與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),直線AB與直線l相交于點(diǎn)M,記直線PAPB,PM的斜率分別為k1,k2k3.問:是否存在實(shí)數(shù)λ,使得k1k2λk3?若存在,試求出λ的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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【題目】有一矩形硬紙板材料(厚度忽略不計(jì)),一邊長為6分米,另一邊足夠長.現(xiàn)從中截取矩形(如圖甲所示),再剪去圖中陰影部分,用剩下的部分恰好能折卷成一個(gè)底面是弓形的柱體包裝盒(如圖乙所示,重疊部分忽略不計(jì)),其中是以為圓心、的扇形,且弧,分別與邊, 相切于點(diǎn),

(1)當(dāng)長為1分米時(shí),求折卷成的包裝盒的容積;

(2)當(dāng)的長是多少分米時(shí),折卷成的包裝盒的容積最大?

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【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l經(jīng)過點(diǎn)P(2,0),其傾斜角為,在以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中(取相同的長度單位),曲線C的極坐標(biāo)方程為

Ⅰ)若直線l與曲線C有公共點(diǎn),求傾斜角的取值范圍;

Ⅱ)設(shè)M(x,y)為曲線C上任意一點(diǎn),求的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù).當(dāng)時(shí), .

(1) 求曲線在點(diǎn)處的切線方程;

(2) 若關(guān)于的不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知下列命題:

①從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上,質(zhì)檢員每30分鐘從生產(chǎn)流水線中抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行某項(xiàng)指標(biāo)檢測(cè),這樣的抽樣方法是系統(tǒng)抽樣;

②兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)的值越接近于1;

③兩個(gè)分類變量的觀測(cè)值,越小,則說明“有關(guān)系”的把握程度越大;

④隨機(jī)變量,.

其中為真命題的是__________

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【題目】已知坐標(biāo)平面上動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn), ,且.

(1)求點(diǎn)的軌跡方程,并說明軌跡是什么圖形;

(2)記(1)中軌跡為,過點(diǎn)的直線所截得的線段長度為8,求直線的方程.

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【題目】某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭純收入y(單位:千元)的數(shù)據(jù)如下表:

1)求關(guān)于的線性回歸方程;

2)利用()中的回歸方程,分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況,并預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入.

附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為:

,

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【題目】如圖,在幾何體中,四邊形為矩形,四邊形為梯形, ,平面與平面垂直,且.

(1)求證: 平面;

(2)若,且平面與平面所成銳二面角的余弦值為,求的長.

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