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19.已知橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0).
(Ⅰ)若點(diǎn)A(1,233),B(62,1)均在橢圓C上,求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)已知過點(diǎn)(0,1),斜率為k(k<0)的直線l與圓O:x2+y2=12相切,且與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),若以MN為直徑的圓恒過原點(diǎn)O,則當(dāng)a∈[42662]時(shí),求橢圓C的離心率e的取值范圍.

分析 (Ⅰ)將點(diǎn)A,B的坐標(biāo)代入橢圓方程,解方程可得a,b,即可得到橢圓方程;
(Ⅱ)求得直線l的方程,代入橢圓方程,運(yùn)用判別式大于0,韋達(dá)定理,由直徑所對(duì)的圓周角為直角,運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,化簡(jiǎn)整理,結(jié)合離心率公式可得所求范圍.

解答 解:(Ⅰ)點(diǎn)A(1,233),B(62,1)均在橢圓C上,
可得1a2+432=1,32a2+12=1,
解得a2=3,b2=2,
即有橢圓方程為x23+y22=1;
(Ⅱ)過點(diǎn)(0,1),斜率為k(k<0)的直線l為y=kx+1,
直線l與圓O:x2+y2=12相切,可得d=11+k2=22,
解k=-1,則直線l:y=1-x,
代入橢圓方程x2a2+y22=1,可得(b2+a2)x2-2a2x+a2-a2b2=0,
由△=4a4-4(b2+a2)(a2-a2b2)>0,化為b2+a2>1,
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),可得x1+x2=2a2a2+2,x1x2=a2a22a2+2
y1y2=(1-x1)(1-x2)=1+x1x2-(x1+x2),
以MN為直徑的圓恒過原點(diǎn)O,可得OM⊥ON,
即有x1x2+y1y2=1+2x1x2-(x1+x2)=1+2•\frac{{a}^{2}-{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}-2a2a2+2=0,
化簡(jiǎn)可得a2+b2=2a2b2,即1a2+12=2,
由a∈[426,62],可得1a2∈[2367],
即有b2∈[34,78],
橢圓C的離心率e2=c2a2=a22a2=1-b2(2-12
=2-2b2∈(1412),
則橢圓C的離心率e的取值范圍是(1222).

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法,注意運(yùn)用待定系數(shù)法,考查橢圓離心率的范圍,注意運(yùn)用直線方程和橢圓方程聯(lián)立,運(yùn)用韋達(dá)定理和直徑所對(duì)的圓周角為直角,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)動(dòng)直線l:y=kx+m與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn),且OP⊥OQ,是否存在圓x2+y2=r2使得l恰好是該圓的切線,若存在,求出r,若不存在,說明理由.

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