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已知a,b是不相等的正數,在a,b之間分別插入m個正數a1,a2, ,am和正數b1,b2, ,
bm,使a,a1,a2, ,am,b是等差數列,a,b1,b2, ,bm,b是等比數列.
(1)若m=5,,求的值;
(2)若b=λa(λ∈N*,λ≥2),如果存在n (n∈N*,6≤n≤m)使得an-5=bn,求λ的最小值及此時m的值;
(3)求證:an>bn(n∈N*,n≤m).
(1);(2)最小值為4,此時為29;(3)詳見解析

試題分析:(1)根據題意m=5時,共有7項,設等差數列的公差為,等比數列的公比為,則,表示出,又由,可得到,解得;(2)由條件得,即,從而得,又由于,即,從而得,又題中有,可得, 化簡消去a得:,觀察此式結構特征:,則要求為有理數.即必須為有理數,而,可將用數字代入檢驗: 若,則為無理數,不滿足條件; 同理,不滿足條件; 當時,.要使為有理數,則必須為整數,要滿足 ,可解得;(3)可假設,為數列的前項的和,我們易先證:若為遞增數列,則為遞增數列;同理可證,若為遞減數列,則為遞減數列;由于a和b的大小關系不確定,故要對其分類討論:①當時,.當時,.即,即.因為,所以,即,即;②當時,同理可求得
試題解析:(1)設等差數列的公差為,等比數列的公比為

.                                2分
因為,所以,解得.                4分
(2)因為,所以,從而得
因為,所以,從而得
因為,所以
因為,所以(*).                       6分
因為,所以為有理數.
要使(*)成立,則必須為有理數.
因為,所以
,則為無理數,不滿足條件.
同理,不滿足條件.                                        8分
時,.要使為有理數,則必須為整數.
又因為,所以僅有滿足條件.
所以,從而解得
綜上,最小值為4,此時為29.                             10分
(3)設為數列的前項的和.
先證:若為遞增數列,則為遞增數列.
證明:當時,.    
因為,所以,即數列為遞增數列.     
同理可證,若為遞減數列,則為遞減數列.                 12分
①當時,.當時,
,即.   
因為
所以,即,即.      
②當時,,當時,

因為,所以.以下同①.
綜上,.                                   16分
練習冊系列答案
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x
1
2
3
4
5
f(x)
5
4
3
1
2
 
A.2        B.3        C.4        D.5

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A.B.C.D.

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