Question

1．已知拋物線y²=8x的焦點(diǎn)為F，A、B為拋物線上兩點(diǎn)，若$\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$，則△AOB的面積為（　�。�

• A． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{16\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{32\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{64\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 拋物線y²=8x的焦點(diǎn)為F（2，0），由拋物線的定義可知：|AF|=|AD|，|BC|=|BF|，則|AB|=2|AE|，直線AB的傾斜角為60°，利用點(diǎn)斜式方程，求得直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立消去y，進(jìn)而跟韋達(dá)定理求得x₁+x₂的值，則丨AB丨=x₁+x₂+p=$\frac{20}{3}$+4=$\frac{32}{3}$，利用點(diǎn)到直線的距離公式及三角形的面積公式即可求得△AOB的面積．

解答 解：拋物線y²=8x的焦點(diǎn)為F（2，0），由拋物線的定義可知：|AF|=|AD|，|BC|=|BF|，
過B做BE⊥AD，
由$\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$，則丨$\overrightarrow{AF}$丨=丨$\overrightarrow{FB}$丨，
∴|AB|=2|AE|，由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)直線的斜率為正，
∴直線AB的傾斜角為60°，直線AB的方程為y=$\sqrt{3}$（x-2），
聯(lián)立直線AB與拋物線的方程可得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x-2）}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，整理得：3x²-20x+12=0，
由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=$\frac{20}{3}$，則丨AB丨=x₁+x₂+p=$\frac{20}{3}$+4=$\frac{32}{3}$，
而原點(diǎn)到直線AB的距離為d=$\frac{丨2\sqrt{3}丨}{\sqrt{1+（\sqrt{3}）^{2}}}$=$\sqrt{3}$，
則三角形△AOB的面積S=$\frac{1}{2}$•丨AB丨•d=$\frac{1}{2}$•$\frac{32}{3}$•$\sqrt{3}$=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
∴當(dāng)直線AB的傾斜角為120°時(shí)，同理可求S=$\frac{1}{2}$•丨AB丨•d=$\frac{1}{2}$•$\frac{32}{3}$•$\sqrt{3}$=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，考查拋物線的焦點(diǎn)弦公式，三角形面積公式及點(diǎn)到直線的距離公式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．