Question

7．如圖，有一直徑為8米的半圓形空地，現計劃種植果樹，但需要有輔助光照．半圓周上的C處恰有一可旋轉光源滿足果樹生長的需要，該光源照射范圍是$∠ECF=\frac{π}{6}$，點E，F在直徑AB上，且$∠ABC=\frac{π}{6}$．
（1）若$CE=\sqrt{13}$，求AE的長；
（2）設∠ACE=α，求該空地種植果樹的最大面積．

Answer 1

分析 （1）由已知利用余弦定理，即可求AE的長；
（2）設∠ACE=α，求出CF，CE，利用三角形面積公式可求S_△CEF，求出最大值，即可求該空地產生最大經濟價值時種植甲種水果的面積．

解答 （本小題滿分16分）
解：（1）由已知得△ABC為直角三角形，因為AB=8，$∠ABC=\frac{π}{6}$，
所以$∠BAC=\frac{π}{3}$，AC=4，
在△ACE中，由余弦定理：CE²=AC²+AE²-2AC•AEcosA，且$CE=\sqrt{13}$，
所以13=16+AE²-4AE，
解得AE=1或AE=3，…（4分）
（2）因為$∠ACB=\frac{π}{2}$，$∠ECF=\frac{π}{6}$，
所以∠ACE=α$∈[0，\frac{π}{3}]$，
所以$∠AFC=π-∠A-∠ACF=π-\frac{π}{3}-（{α+\frac{π}{6}}）=\frac{π}{2}-α$，…（6分）
在△ACF中由正弦定理得：$\frac{CF}{sinA}=\frac{AC}{sin∠CFA}=\frac{AC}{{sin（\frac{π}{2}-α）}}=\frac{AC}{cosα}$，
所以$CF=\frac{{2\sqrt{3}}}{cosα}$，…（8分）
在△ACE中，由正弦定理得：$\frac{CE}{sinA}=\frac{AC}{sin∠AEC}=\frac{AC}{{sin（\frac{π}{3}+α）}}$，
所以$CE=\frac{{2\sqrt{3}}}{{sin（\frac{π}{3}+α）}}$，…（10分）
由于：${S_{△ECF}}=\frac{1}{2}CE•CFsin∠ECF=\frac{3}{{sin（\frac{π}{3}+α）cosα}}=\frac{12}{{2sin（2α+\frac{π}{3}）+\sqrt{3}}}$，…（14分）
因為$α∈[0，\frac{π}{3}]$，所以$\frac{π}{3}≤2α+\frac{π}{3}≤π$，所以$0≤sin（2α+\frac{π}{3}）≤1$，
所以當$sin（2α+\frac{π}{3}）=0$時，S_△ECF取最大值為$4\sqrt{3}$．…（16分）

點評 本題主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的運用，考查三角形面積的計算，考查了正弦函數的最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．