【題目】如果無窮數(shù)列{an}的所有項恰好構(gòu)成全體正整數(shù)的一個排列,則稱數(shù)列{an}具有性質(zhì)P.
(Ⅰ)若an(k∈N*),判斷數(shù)列{an}是否具有性質(zhì)P,并說明理由,
(Ⅱ)若數(shù)列{an}具有性質(zhì)P,求證:{an}中一定存在三項ai,aj,ak(i<j<k)構(gòu)成公差為奇數(shù)的等差數(shù)列;
(Ⅲ)若數(shù)列{an}具有性質(zhì)P,則{an}中是否一定存在四項ai,aj,ak,al,(i<j<k<l)構(gòu)成公差為奇數(shù)的等差數(shù)列?證明你的結(jié)論.
【答案】(Ⅰ)數(shù)列{an}具有性質(zhì)P.見解析(Ⅱ)見解析(Ⅲ)不一定存在,見解析
【解析】
(Ⅰ)分n為奇數(shù),n為偶數(shù)討論,研究an包含的數(shù)的情況,即得解;
(Ⅱ)考慮,令,從開始尋找第一個大于M的項,記為:,分為奇數(shù),偶數(shù)討論,分別構(gòu)造,為公差為奇數(shù)的等差數(shù)列,即得證.
(Ⅲ)構(gòu)造反例:為1,2,4,3,6,8,…,2k-1,4k-2,4k,…,利用反證法,即得證,
(Ⅰ)解:∵an(k∈N*),∴數(shù)列{an}具有性質(zhì)P.
理由如下:
當(dāng)n為奇數(shù),n∈N*時,an=n+1包含所有的正偶數(shù),
當(dāng)n為偶數(shù),n∈N*時,an=n﹣1包含所有的正奇數(shù),
∴無窮數(shù)列{an}的所有項恰好構(gòu)成全體正整數(shù)的一個排列,
∴數(shù)列{an}具有性質(zhì)P.
(Ⅱ)證明:不妨設(shè)
考慮,令,
從開始尋找第一個大于M的項,記為:,則中含有1,2,且為前j項中的最大項()
(i)若為奇數(shù),,所以在之后,記為,則,為公差為奇數(shù)的等差數(shù)列;
(ii) 若為偶數(shù),令,則,為公差為奇數(shù)的等差數(shù)列.
故結(jié)論成立.
(Ⅲ)不一定存在
例如為1,2,4,3,6,8,…,2k-1,4k-2,4k,…,
即每三項構(gòu)成一組,第k組的通項公式為:2k-1,4k-2,4k,
假設(shè)存在4項構(gòu)成公差為奇數(shù)的等差數(shù)列,則存在三項(偶數(shù),奇數(shù),偶數(shù))成等差,
由于中,任意一項奇數(shù)后面的偶數(shù)都大于等于2,
因此不可能存在三項(偶數(shù),奇數(shù),偶數(shù))成等差.
故假設(shè)不成立.
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【題目】如圖,在五面體中,四邊形為矩形,為等邊三角形,且平面平面.
(1)證明:平面平面;
(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】中國武漢于2019年10月18日至2019年10月27日成功舉辦了第七屆世界軍人運動會.來自109個國家的9300余名運動員同臺競技.經(jīng)過激烈的角逐,獎牌榜的前3名如下:
國家 | 金牌 | 銀牌 | 銅牌 | 獎牌總數(shù) |
中國 | 133 | 64 | 42 | 239 |
俄羅斯 | 51 | 53 | 57 | 161 |
巴西 | 21 | 31 | 36 | 88 |
某數(shù)學(xué)愛好者采用分層抽樣的方式,從中國和巴西獲得金牌選手中抽取了22名獲獎代表.從這22名中隨機(jī)抽取3人, 則這3人中中國選手恰好1人的概率為( )
A.B.C.D.
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【題目】如圖,四邊形ABCD與BDEF均為菱形,∠DAB=∠DBF=60°,且FA=FC.
(Ⅰ)求證:AC⊥平面BDEF;
(Ⅱ)求證:FC∥平面EAD;
(Ⅲ)求二面角A﹣FC﹣B的余弦值.
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【題目】己知{an}是等差數(shù)列,其前n項和Sn=n2﹣2n+b﹣1,{bn}是等比數(shù)列,其前n項和Tn,則數(shù)列{ bn +an}的前5項和為( 。
A.37B.-27C.77D.46
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【題目】在三棱錐A-BCD中,平面ABC丄平面ADC, AD丄AC,AD=AC, ,若此三棱錐的外接球表面積為,則三棱錐A-BCD體積的最大值為( )
A.7B.12C.6D.
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【題目】2019年北京市百項疏堵工程基本完成.有關(guān)部門為了解疏堵工程完成前后早高峰時段公交車運行情況,調(diào)取某路公交車早高峰時段全程所用時間(單位:分鐘)的數(shù)據(jù),從疏堵工程完成前的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取5個數(shù)據(jù),記為A組,從疏堵工程完成后的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取5個數(shù)據(jù),記為B組.
A組:128,100,151,125,120
B組:100,102,96,101,
己知B組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為100,且從中隨機(jī)抽取一個數(shù)不小于100的概率是.
(1)求a的值;
(2)該路公交車全程所用時間不超過100分鐘,稱為“正點運行”從A,B兩組數(shù)據(jù)中各隨機(jī)抽取一個數(shù)據(jù),記兩次運行中正點運行的次數(shù)為X,求X的分布列及期望;
(3)試比較A,B兩組數(shù)據(jù)方差的大。ú灰笥嬎悖,并說明其實際意義.
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【題目】已知橢圓()的離心率為,以的短軸為直徑的圓與直線相切.
(1)求的方程;
(2)直線交于,兩點,且.已知上存在點,使得是以為頂角的等腰直角三角形,若在直線的右下方,求的值.
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