Question

12．已知極坐標(biāo)的極點(diǎn)與平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合，且長度單位相同．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2（cosθ+sinθ）．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E，求$\frac{1}{|EA|}$+$\frac{1}{|EB|}$的值．

Answer 1

分析 （I）極坐標(biāo)方程ρ=2（cosθ+sinθ）兩邊同乘ρ，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系得出；
（II）把直線的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和參數(shù)的幾何意義計(jì)算．

解答 解：（I）∵ρ=2（cosθ+sinθ），∴ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=2x+2y，即（x-1）²+（y-1）²=2．
（II）E（0，1），
把$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入（x-1）²+（y-1）²=2得：t²-$\sqrt{2}$t-1=0，
設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則t₁+t₂=$\sqrt{2}$，t₁t₂=-1．∴t₁，t₂異號(hào)．
∴|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{6}$．
∴$\frac{1}{|EA|}$+$\frac{1}{|EB|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}$+$\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}|+|{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，參數(shù)的幾何意義及應(yīng)用，屬于中檔題．