在數(shù)列中,,且對任意.,成等差數(shù)列,其公差為。
(Ⅰ)若=,證明,,成等比數(shù)列(
(Ⅱ)若對任意,,成等比數(shù)列,其公比為
本小題主要考查等差數(shù)列的定義及通項公式,前n項和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎知識,考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法。滿分14分。
(Ⅰ)證明:由題設,可得。
所以
=
=2k(k+1)
=0,得
于是。
所以成等比數(shù)列。
(Ⅱ)證法一:(i)證明:由成等差數(shù)列,及成等比數(shù)列,得
≠1時,可知≠1,k
從而
所以是等差數(shù)列,公差為1。
(Ⅱ)證明:,可得,從而=1.由(Ⅰ)有

所以
因此,
以下分兩種情況進行討論:
(1)  當n為偶數(shù)時,設n=2m()
若m=1,則.
若m≥2,則
+

所以
(2)當n為奇數(shù)時,設n=2m+1(


所以從而···
綜合(1)(2)可知,對任意,,有
證法二:(i)證明:由題設,可得
所以

可知。可得,
所以是等差數(shù)列,公差為1。
(ii)證明:因為所以
所以,從而,。于是,由(i)可知所以是公差為1的等差數(shù)列。由等差數(shù)列的通項公式可得= ,故。
從而。
所以,由,可得

于是,由(i)可知
以下同證法一。
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A.14B.21C.28D.35

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