Question

如圖，在棱錐P-ABC中，PO⊥平面ABC，PA=PB=BC=3，AD=BD=1，PO=2．
（1）證明：CD⊥AB
（2）求棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由已知條件得AB⊥PO，AB⊥PD，從而AB⊥平面PDC，由此能證明CD⊥AB．
（2）由已知條件得S_△ABC=

1

2

×2×2

2

=2

2

，由此能求出棱錐P-ABC的體積．

解答： （1）證明：∵PO⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴AB⊥PO，
∵PA=PB=BC=3，AD=BD=1，
∴AB⊥PD，
∵PD∩PO=P，
∴AB⊥平面PDC，
∵CD?平面PDC，∴CD⊥AB．
（2）解：∵PA=PB=BC=3，AD=BD=1，PO=2，
∴CD=

9-1

=2

2

，
∴S_△ABC=

1

2

×2×2

2

=2

2

，
∴棱錐P-ABC的體積V=

1

3

×S△ABC×OP=

4 2

3

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．