Question

f（x）是定義在R上周期為4的偶函數，x∈[0，2]時，f（x）=2x-cosx，若a=f(-

3

2

)，b=f(

15

2

)，則a與b的大小關系為a

＞

b（填寫＞，＜或=）．

Answer 1

分析：根據函數f（x）的周期性及奇偶性，對f（-

3

2

），f（

15

2

）進行等價轉化，把自變量的值轉化到區(qū)間[2，4]上，再根據f（x）在區(qū)間[2，4]上是增函數，即可得到函數值f（-

3

2

），f（

15

2

）的大小關系．

解答：解：∵x∈[0，2]時，f（x）=2x-cosx，
∴f^′（x）=2+sinx＞0在x∈[0，2]上恒成立，
∴f（x）=2x-cosx在x∈[0，2]上單調遞增，
∵函數f（x）是定義在R上的偶函數，且是以4為周期的周期函數，
∴f（x）=2x-cosx在x∈[-2，0]上單調遞減，
∵f（x+4）=f（x），∴f（x）在x∈[2，4]上單調遞減，
∵f（-

3

2

）=f（-

3

2

+4）=f（

5

2

），f（

15

2

）=f（

15

2

-4）=f（

7

2

），且2＜

5

2

＜

7

2

＜4，
∴f（

5

2

）＞f（

7

2

），即f（-

3

2

）＞f（

15

2

）．
故答案為：＞．

點評：本題主要考查函數奇偶性與單調性的綜合應用，屬�？碱}，較難．解題的關鍵是利用函數的周期性及奇偶性對f（-

3

2

），f（

15

2

）進行等價轉化，借助函數f（x）在區(qū)間[2，4]上的單調性進行比較．