已知橢圓C:+=1(a>b>0)的焦距為4,且過點(diǎn)P(,).

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)Q(x0,y0)(x0y0≠0)為橢圓C上一點(diǎn).過點(diǎn)Q作x軸的垂線,垂足為E.取點(diǎn)A(0,2),連接AE,過點(diǎn)A作AE的垂線交x軸于點(diǎn)D.點(diǎn)G是點(diǎn)D關(guān)于y軸的對稱點(diǎn),作直線QG,問這樣作出的直線QG是否與橢圓C一定有唯一的公共點(diǎn)?并說明理由.

 

【答案】

(1) +=1 (2) 直線QG與橢圓C一定有唯一的公共點(diǎn)，理由見解析

【解析】

解:(1)因?yàn)榻咕酁?/span>4,

所以a2-b2=4.

又因?yàn)闄E圓C過點(diǎn)P(,),

所以+=1,

故a2=8,b2=4,

從而橢圓C的方程為+=1.

(2)一定有唯一的公共點(diǎn).

由題意,E點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,0).

設(shè)D(xD,0),則=(x0,-2),=(xD,-2).

再由AD⊥AE知, ·=0,

即xDx0+8=0.

由于x0y0≠0,故xD=-.

因?yàn)辄c(diǎn)G是點(diǎn)D關(guān)于y軸的對稱點(diǎn),所以點(diǎn)G（,0）.

故直線QG的斜率kQG==.

又因Q(x0,y0)在橢圓C上,

所以+2=8.①

從而kQG=-.

故直線QG的方程為

y=-（x-）.②

將②代入橢圓C方程,得

(+2)x2-16x0x+64-16=0.③

再將①代入③,化簡得

x2-2x0x+=0.

解得x=x0,y=y0,

即直線QG與橢圓C一定有唯一的公共點(diǎn).

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C 1：
x2
a2
+
y2
b2
=λ1（a＞b＞0，λ1＞0）和雙曲線C 2：
x2
m2
-
y2
n2
=λ2(λ2≠0)，給出下列命題：
①對于任意的正實(shí)數(shù)λ1，曲線C1都有相同的焦點(diǎn)；
②對于任意的正實(shí)數(shù)λ1，曲線C1都有相同的離心率；
③對于任意的非零實(shí)數(shù)λ2，曲線C2都有相同的漸近線；
④對于任意的非零實(shí)數(shù)λ2，曲線C2都有相同的離心率．
其中正確的為（　�。�

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（07年陜西卷） (14分)

已知橢圓C:=1(a＞b＞0)的離心率為,短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C:=1()的離心率為,短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為.

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，求△面積的最大值.

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已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2,0),離心率為.直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N.

(1)求橢圓C的方程;

(2)當(dāng)△AMN的面積為時(shí),求k的值.

 

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（本小題滿分12分）

       已知橢圓C: +=1（a＞b＞0）的離心率e=，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)N（2，-3）．

   （1）求橢圓C的方程；

   （2）求橢圓以M（-1，2）為中點(diǎn)的弦所在直線的方程．

 

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