Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{（sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}）^{2}-1}{co{s}^{2}\frac{x}{2}-si{n}^{2}\frac{x}{2}}$，函數(shù)y=f（x）-$\sqrt{3}$在（0，+∞）上的零點按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列{a_n}（n∈N*）
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{\frac{3}{π}{a}_{n}}{（4{n}^{2}-1）（3n-2）}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二倍角公式先化簡得到f（x）=tanx，再根據(jù)函數(shù)零點定理可得x=$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z，即可得到數(shù)列的通項公式，
（Ⅱ）化簡bn=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），再裂項求和即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{（sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}）^{2}-1}{co{s}^{2}\frac{x}{2}-si{n}^{2}\frac{x}{2}}$=$\frac{sinx}{cosx}$=tanx，
∵y=f（x）-$\sqrt{3}$=0，
∴tanx=$\sqrt{3}$，
∴x=$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z，
∵函數(shù)y=f（x）-$\sqrt{3}$在（0，+∞）上的零點按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列{a_n}，
∴a_n=$\frac{π}{3}$+（n-1）π，
（Ⅱ）b_n=$\frac{\frac{3}{π}{a}_{n}}{（4{n}^{2}-1）（3n-2）}$=$\frac{3n-2}{（2n+1）（2n-1）（3n-2）}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n-1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$

點評 本題考查了三角函數(shù)的化簡和函數(shù)零點定理以及數(shù)列的通項公式和裂項法求前n項和，屬于中檔題