Question

【題目】已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)的切線方程為.

（1）求實(shí)數(shù)的值，并求的極值.

（2）是否存在，使得對(duì)任意恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1），，無(wú)極小值.（2）存在，3

【解析】

（1）由求導(dǎo)公式求出導(dǎo)數(shù)，再由切線的方程得，列出方程求出的值，代入函數(shù)解析式和導(dǎo)數(shù)，分別求出、對(duì)應(yīng)的的范圍，即求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）先將分離出，構(gòu)造函數(shù)，再求出此函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并化簡(jiǎn)，再構(gòu)造函數(shù)并二次求導(dǎo)，通過(guò)特殊函數(shù)值的符號(hào)，確定函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間，列出表格判斷出的單調(diào)性，從而求出的最大值，再由自變量的范圍確定出的最大值的范圍，從而求出滿足條件的的最小值．

（1）依題意，，所以，

又由切線方程可得，即，解得，所以，

所以，令，解得，

當(dāng)時(shí)，，的的變化情況如下：

	+	0	-
		極大值

所以，無(wú)極小值.

（2）若對(duì)任意恒成立，則，

記，只需.又，

記，則，所以在上單調(diào)遞減.

又，，

所以存在唯一，使得，即，

當(dāng)時(shí)，，，的變化情況如下：

	+	0	-
	+	0	-
		極大值

所以，又因?yàn)?/span>，

所以，

所以，

因?yàn)?/span>，所以，所以，又，

所以，因?yàn)?/span>，即，且，

故的最小整數(shù)值為3.

所以存在最小整數(shù)，使得對(duì)任意恒成立.