Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AP=AB=2

3

，AC=4，D為PC中點(diǎn)，E為PB上一點(diǎn)，且BC∥平面ADE．
（Ⅰ）證明：E為PB的中點(diǎn)；
（Ⅱ）若PB⊥AD，求直線AC與平面ADE所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出BC∥DE，再由D為PC中點(diǎn)，求出E為PB的中點(diǎn)．
（Ⅱ）由已知條件推導(dǎo)出平面PBC⊥平面ADE，從而得到BC⊥PB．過C作CH⊥ED于H，推導(dǎo)出∠CAH是直線AC與平面ADE所成的角．由此能求出直線AC與平面ADE所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵BC∥平面ADE，BC?平面PBC，
平面PBC∩平面ADE=DE，
∴BC∥DE．
∵D為PC中點(diǎn)，
∴E為PB的中點(diǎn)．
（Ⅱ）解：∵AP=AB，E為PB的中點(diǎn)，∴AE⊥PB，
又PB⊥AD，∴PB⊥平面ADE，
得DE⊥PB，且平面PBC⊥平面ADE．
由BC∥DE，得BC⊥PB．
過C作CH⊥ED于H，由平面PBC⊥平面ADE，∴CH⊥平面ADE．
∴∠CAH是直線AC與平面ADE所成的角．
∵BC∥DE，BC⊥PB，∴CH=BE=

1

2

PB=

6

，
∴sin∠CAH=

CH

AC

=

6

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線段中點(diǎn)的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．