Question

學(xué)校餐廳每天供應(yīng)500名學(xué)生用餐，每星期一有A，B兩種菜可供選擇．調(diào)查表明，凡是在這星期一選A菜的，下星期一會有

1

5

改選B菜；而選B菜的，下星期一會有

3

10

改選A菜．用a_n，b_n分別表示第n個(gè)星期選A的人數(shù)和選B的人數(shù)．
（1）試用a_n+1（n∈N^*，n≥2）表示a_n，判斷數(shù)列{a_n-300}是否成等比數(shù)列并說明理由；
（2）若第一個(gè)星期一選A種菜的有200人，那么第10個(gè)星期一選A種菜的大約有多少人？

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)這星期一選A菜的，下星期一會有

1

5

改選B菜；而選B菜的，下星期一會有

3

10

改選A菜，可得a_n+1=

1

2

a_n+250，再利用等比數(shù)列的定義判斷數(shù)列{a_n-300}是否成等比數(shù)列；
（2）利用{a_n-300}是以a₁-300為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列，即可求出第10個(gè)星期一選A種菜的人數(shù)．

解答： 解：（1）由題知，對n∈N^*有b_n=500-a_n，
∴當(dāng)n∈N^*且n≥2時(shí)，an=

4

5

an-1+

3

10

(500-an-1)⇒an=

1

2

an-1+250⇒an-300=

1

2

(an-1-300)，
∴a_n+1=

1

2

a_n+250，
∴當(dāng)a₁=300時(shí)，{a_n-300}不是等比數(shù)列；
  當(dāng)a₁≠300時(shí)，{a_n-300}是以a₁-300為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列．
（2）當(dāng)a₁=200時(shí)，an-300=(

1

2

)n-1(a1-300)⇒an=300-

100

2n-1

⇒a10=300-

100

29

≈300
∴第10個(gè)星期一選A種菜的大約有300人．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列知識在生產(chǎn)實(shí)際中的應(yīng)用，理清題設(shè)中的數(shù)量關(guān)系，合理地運(yùn)用數(shù)列知識進(jìn)行求解是關(guān)鍵．