Question

4．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P為橢圓$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線x-y+6=0的最大距離為4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)P（x，y），由P為橢圓$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1的點(diǎn)，則x=$\sqrt{3}$cosθ，y=sinθ，利用點(diǎn)到直線的距離公式d=$\frac{丨\sqrt{3}cosθ-sinθ+6丨}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$丨$\sqrt{3}$cosθ-sinθ+6丨，利用輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求得P到直線x-y+6=0的最大距離．

解答 解：設(shè)P（x，y），由P為橢圓$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1的點(diǎn)，則x=$\sqrt{3}$cosθ，y=sinθ，
點(diǎn)P到直線x-y+6=0的距離d=$\frac{丨\sqrt{3}cosθ-sinθ+6丨}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$丨$\sqrt{3}$cosθ-sinθ+6丨，
由$\sqrt{3}$cosθ-sinθ+6=-2sin（x-$\frac{π}{3}$）+6，由-1≤sin（x-$\frac{π}{3}$）≤1，
∴4≤-2sin（x-$\frac{π}{3}$）+6≤8，則2$\sqrt{2}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$丨$\sqrt{3}$cosθ-sinθ+6丨≤4$\sqrt{2}$，
∴d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$丨$\sqrt{3}$cosθ-sinθ+6丨的最大值為4$\sqrt{2}$，
故答案為：4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的參數(shù)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，輔助角公式及正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．