Question

20．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（x）滿足f（x+2）=-f（x），當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x，則f（37.5）等于-0.5．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由f（x+2）=-f（x）可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即函數(shù)f（x）的周期為4，即有f（37.5）=f（1.5），結(jié)合題意可得f（1.5）=f[2+（-0.5）]=-f（-0.5），結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得f（0.5）=-f（-0.5），進(jìn)而結(jié)合函數(shù)在0≤x≤1上的解析式可得f（0.5）的值，綜合即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，由于f（x+2）=-f（x），則有f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即函數(shù)f（x）的周期為4，
則有f（37.5）=f（1.5+4×9）=f（1.5），
又由f（x+2）=-f（x），則有f（1.5）=f[2+（-0.5）]=-f（-0.5），
又由函數(shù)為奇函數(shù)，則f（0.5）=-f（-0.5），
又由當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x，則f（0.5）=0.5；
則有f（37.5）=f（1.5）=-f（-0.5）=f（0.5）=0.5，
故f（37.5）=0.5；
故答案為：0.5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，涉及函數(shù)的周期性的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出函數(shù)f（x）的周期．