Question

3．隨著旅游業(yè)的發(fā)展，玉石工藝品的展覽與銷售逐漸成為旅游產(chǎn)業(yè)文化的重要一環(huán)．某    工藝品廠的日產(chǎn)量最多不超過(guò)15件，每日產(chǎn)品廢品率p與日產(chǎn)量x（件）之間近似地滿   足關(guān)系式$P=\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{12-x}，1≤x≤9\\ \frac{{{x^2}+20}}{480}，10≤x≤15\end{array}\right.（{x∈{N^*}}）$，（日產(chǎn)品廢品率=$\frac{日廢品量}{日產(chǎn)量}×100%$）
已知每生產(chǎn)一件正品可贏利2千元，而生產(chǎn)一件廢品虧損1千元．
（1）將該廠日利潤(rùn)y（千元）表示為日產(chǎn)量x（件）的函數(shù)；
（2）當(dāng)該廠的日產(chǎn)量為多少件時(shí)，日利潤(rùn)最大？最大日利潤(rùn)是多少？

Answer 1

分析 （1）利用每日產(chǎn)品廢品率p與日產(chǎn)量x（件）之間近似地滿足關(guān)系式$P=\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{12-x}，1≤x≤9\\ \frac{{{x^2}+20}}{480}，10≤x≤15\end{array}\right.（{x∈{N^*}}）$，即可將該廠日利潤(rùn)y（千元）表示為日產(chǎn)量x（件）的函數(shù)；
（2）分段求出函數(shù)的最值，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意可知，當(dāng)1≤x≤9時(shí)，$y=2x（1-p）-px=\frac{{18x-2{x^2}}}{12-x}$，…（2分）
當(dāng)10≤x≤15時(shí)，$y=2x（1-p）-px=\frac{15x}{8}-\frac{x^2}{160}$，…（4分）
所以該廠日利潤(rùn)$y=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{18x-2{x^2}}}{12-x}，1≤x≤9}\\{\frac{15x}{8}-\frac{x^3}{160}，10≤x≤15}\end{array}}\right.$．…（5分）
（2）當(dāng)1≤x≤9時(shí)，令$y'=\frac{{2{x^2}-48x+216}}{{{{（12-x）}^2}}}=0$，解得x=6（x=18刪），…（6分）
當(dāng)1≤x＜6時(shí)，y'＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)6＜x≤9時(shí)，y'＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
而x=6時(shí)，y_max=6，…（8分）
當(dāng)10≤x≤15時(shí)，令$y'=\frac{15}{8}-\frac{{3{x^2}}}{160}=0$，解得x=10，…（9分）
當(dāng)10≤x≤15時(shí)，y'＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x=10時(shí)，${y_{max}}=\frac{25}{2}$，…（11分）
由于$\frac{25}{2}＞6$，所以當(dāng)該廠的日產(chǎn)量為10件時(shí)，日利潤(rùn)最大，為$\frac{25}{2}$千元．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查分段函數(shù)，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，確定函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．