Question

4．已知橢圓E的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，左、右焦點(diǎn)分別是F₁、F₂，在橢圓E上有一動(dòng)點(diǎn)A，過(guò)A、F₁作一個(gè)平行四邊形，使頂點(diǎn)A、B、C、D都在橢圓E上，如圖所示．
（Ⅰ） 判斷四邊形ABCD能否為菱形，并說(shuō)明理由．
（Ⅱ） 當(dāng)四邊形ABCD的面積取到最大值時(shí)，判斷四邊形ABCD的形狀，并求出其最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 設(shè)直線方程，代入橢圓方程，若四邊形ABCD能否為菱形，則OA⊥OB，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，整理可知$\frac{-12{m}^{2}-5}{3{m}^{2}+4}$=0，方程無(wú)實(shí)數(shù)解，故四邊形ABCD不能是菱形；
（Ⅱ）由三角形的面積公式S_ABCD=2丨OF₁丨丨y₁-y₂丨=2$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$，利用韋達(dá)定理，及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，函數(shù)的單調(diào)性即可求得ABCD的面積取到最大值及m的值．

解答 解：（Ⅰ）由橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，F(xiàn)₁（-1，0），
如圖，直線AB的斜率存在且不為0，
設(shè)直線AB的方程為x=my-1，點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立方程，$\left\{{\begin{array}{l}{3{x^2}+4{y^2}-12=0}\\{x=my-1}\end{array}}\right.$，
得（3m²+4）y²-6my-9=0，…（3分）
∴y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$．…（4分）
若四邊形ABCD能否為菱形，則OA⊥OB，
即$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，…（5分）
又x₁x₂=（my₁-1）（my₂-1）=m²y₁y₂-m（y₁+y₂）+1，
∴（m²+1）y₁y₂-m（y₁+y₂）+1=0，得到$\frac{-12{m}^{2}-5}{3{m}^{2}+4}$=0，顯然這個(gè)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，
故四邊形ABCD不能是菱形．…（6分）
（Ⅱ）由題S_ABCD=4S_△AOB，而S_△AOB=$\frac{1}{2}$丨OF₁丨丨y₁-y₂丨，又丨OF₁丨=1，
即S_ABCD=2丨OF₁丨丨y₁-y₂丨=2$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$，…（8分）
由（Ⅰ）知y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$
∴S_ABCD=2$\sqrt{\frac{36{m}^{2}+36（3{m}^{2}+4）}{（3{m}^{2}+4）^{2}}}$=$24\sqrt{\frac{{{m^2}+1}}{{{{（3{m^2}+4）}^2}}}}$=24$\sqrt{\frac{1}{9（{m}^{2}+1）+\frac{1}{{m}^{2}+1}+6}}$，
∵函數(shù)$f（t）=9t+\frac{1}{t}$，t∈[1，+∞），在t=1時(shí)，f（t）_min=10，…（11分）
∴S_ABCD的最大值為6，此時(shí)m²+1=1，即m=0時(shí)，
此時(shí)直線AB⊥x軸，即ABCD是矩形．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．