Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²+alnx，（a＜0）．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線斜率為$\frac{1}{2}$，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)g（x）=x²-（1-a）x，當(dāng)a≤-1時(shí)，討論f（x）與g（x）圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得切線的斜率，即有a的方程，解方程可得a的值；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，注意函數(shù)的定義域；
（3）令F（x）=f（x）-g（x），問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)F（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)F（x）的單調(diào)性，從而判斷函數(shù)F（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即f（x），g（x）的交點(diǎn)即可

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²+alnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=x+$\frac{a}{x}$，
由函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線斜率為$\frac{1}{2}$，
可得2+$\frac{a}{2}$=$\frac{1}{2}$，解得a=-3；
（2）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=$\frac{{x}^{2}+a}{x}$，
當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）=$\frac{（x-\sqrt{-a}）（x+\sqrt{-a}）}{x}$，
當(dāng)0＜x＜$\sqrt{-a}$時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞$\sqrt{-a}$時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
綜上，當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的增區(qū)間是（$\sqrt{-a}$，+∞），減區(qū)間是（0，$\sqrt{-a}$）；
（3）令F（x）=f（x）-g（x）=$\frac{1}{2}$x²+alnx-x²+（1-a）x
=-$\frac{1}{2}$x²+（1-a）x+alnx，x＞0，
問題等價(jià)于求函數(shù)F（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
當(dāng)a≤-1時(shí)，F(xiàn)′（x）=-x+1-a+$\frac{a}{x}$=-$\frac{（x-1）（x+a）}{x}$，
①當(dāng)a=-1時(shí)，F(xiàn)′（x）≤0，F(xiàn)（x）遞減，
由F（3）=-$\frac{9}{2}$+6-ln3=$\frac{3}{2}$-ln3＞0，F(xiàn)（4）=-8+8-ln4＜0，
由零點(diǎn)存在定理可得F（x）在（3，4）內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)；
②當(dāng)a＜-1時(shí)，即-a＞1時(shí)，F(xiàn)（x）在（0，1）遞減，（1，-a）遞增，（-a，+∞）遞減，
由極小值F（1）=-$\frac{1}{2}$+（1-a）+aln1=$\frac{1}{2}$-a＞0，
極大值F（-a）=-$\frac{1}{2}$a²+a²-a+aln（-a）=$\frac{1}{2}$a²-a+aln（-a）＞0，
由x→+∞時(shí)，F(xiàn)（x）→-∞，
可得F（x）存在一個(gè)零點(diǎn)．
綜上可得，當(dāng)a≤-1時(shí)，f（x）與g（x）圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．