Question

6．已知直線y=x+2與橢圓Γ：$\frac{x^2}{a^2}$+y²=1（a＞1）存在公共點．
（1）求a的取值范圍；
（2）求當a最小時橢圓Γ的方程；
（3）在（2）的條件下，若A，B是橢圓Γ上關于y軸對稱的兩點，Q是橢圓Γ上異于A，B的任意一點，直線QA，QB分別與y軸交于點M（0，m），N（0，n），試判斷mn是否為定值，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）將y=x+2代入橢圓方程，$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1$，由△≥0，即可求得a的取值范圍；
（2）由（1）可知，$a≥\sqrt{3}$，當a=$\sqrt{3}$時，橢圓方程為$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$；
（3）由題意可知：k_QA=k_QM，$\frac{{{y_0}-{y_1}}}{{{x_0}-{x_1}}}=\frac{{{y_0}-m}}{x_0}$，求得m和n的表達式，$mn=\frac{{{x_0}{y_1}-{x_1}{y_0}}}{{{x_0}-{x_1}}}•\frac{{{x_0}{y_1}+{x_1}{y_0}}}{{{x_0}+{x_1}}}=\frac{{{x_0}^2{y_1}^2-{x_1}^2{y_0}^2}}{{{x_0}^2-{x_1}^2}}$，由A和Q在橢圓上，將A和Q點坐標代入橢圓上，求得$y_0^2=1-\frac{x_0^2}{3}$，$y_1^2=1-\frac{x_1^2}{3}$，代入即可求得mn=1，可判斷mn是否為定值．

解答 解：（1）將y=x+2代入橢圓方程$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1$，
得（a²+1）x²+4a²x+3a²=0，
∵直線y=x+2與橢圓有公共點，△=16a⁴-4（a²+1）×3a²≥0，得a²≥3，
∴$a≥\sqrt{3}$．
（2）橢圓的方程為：$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．
（3）設A（x₁，y₁），B（-x₁，y₁），Q（x₀，y₀），且M（0，m），N（0，n），
∵k_QA=k_QM，
∴$\frac{{{y_0}-{y_1}}}{{{x_0}-{x_1}}}=\frac{{{y_0}-m}}{x_0}$，即${y_0}-m=\frac{{{x_0}（{y_0}-{y_1}）}}{{{x_0}-{x_1}}}$，
∴m=y₀-$\frac{{{x_0}（{y_0}-{y_1}）}}{{{x_0}-{x_1}}}$=$\frac{{{x_0}{y_1}-{x_1}{y_0}}}{{{x_0}-{x_1}}}$．同理可得n=$\frac{{{x_0}{y_1}+{x_1}{y_0}}}{{{x_0}+{x_1}}}$．
∴$mn=\frac{{{x_0}{y_1}-{x_1}{y_0}}}{{{x_0}-{x_1}}}•\frac{{{x_0}{y_1}+{x_1}{y_0}}}{{{x_0}+{x_1}}}=\frac{{{x_0}^2{y_1}^2-{x_1}^2{y_0}^2}}{{{x_0}^2-{x_1}^2}}$，
又$\frac{{{x_0}^2}}{3}+y_0^2=1$，$\frac{{{x_1}^2}}{3}+y_1^2=1$，
∴$y_0^2=1-\frac{x_0^2}{3}$，$y_1^2=1-\frac{x_1^2}{3}$，
∴$mn=\frac{{{x_0}^2（1-\frac{x_1^2}{3}）-{x_1}^2（1-\frac{x_0^2}{3}）}}{{{x_0}^2-{x_1}^2}}=\frac{{{x_0}^2-{x_1}^2}}{{{x_0}^2-{x_1}^2}}=1$，
則mn為定值1．

點評 本題考查橢圓的標準方程及其簡單性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查計算能力，屬于中檔題．