Question

5．已知橢圓C的焦點(diǎn)在原點(diǎn)O，左焦點(diǎn)F₁，左頂點(diǎn)A₁，上頂點(diǎn)B₁，△F₁OB₁的周長為3+$\sqrt{3}$，△OA₁B₁的面積為$\sqrt{3}$
（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）是否存在與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)的直線l：y=kx+m（k∈R）使得|$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OA}$-2$\overrightarrow{OB}$|立？若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由題意列關(guān)于a，b，c的方程組，求出a，b的值得答案；
（Ⅱ）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，由判別式大于0，再由|$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OA}$-2$\overrightarrow{OB}$|聯(lián)立求得m的范圍．

解答 解：（I）設(shè)橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$，半焦距為c，
依題意△F₁OB₁的周長為a+b+c=3+$\sqrt{3}$，
△OA₁B₁的面積為$\frac{1}{2}ab=\sqrt{3}$，
又b²=a²-c²=3，
∴a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）存在直線l，使得|$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OA}$-2$\overrightarrow{OB}$|成立．
利用如下：由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，
化簡得3+4k²＞m²．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{3+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
若|$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OA}$-2$\overrightarrow{OB}$|成立，即$|\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}{|}^{2}=|\overrightarrow{OA}-2\overrightarrow{OB}{|}^{2}$，
等價(jià)于$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
${x}_{1}{x}_{2}+（k{x}_{1}+m）（k{x}_{2}+m）=（1+{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}=0$，
∴$（1+{k}^{2}）\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}+km\frac{8km}{3+4{k}^{2}}+{m}^{2}=0$．
化簡得，7m²=12+12k²，
將${k}^{2}=\frac{7}{12}{m}^{2}-1$代入3+4k²＞m²中，有$3+4（\frac{7}{12}{m}^{2}-1）＞{m}^{2}$，
解得${m}^{2}＞\frac{3}{4}$，
又由7m²=12+12k²，得${m}^{2}≥\frac{12}{7}$．
即m≥$\frac{2\sqrt{21}}{7}$或m$≤-\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，$-\frac{2\sqrt{21}}{7}$]∪[$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了向量法在求解圓錐曲線問題中的應(yīng)用，是中檔題．