Question

3．現有正整數構成的數表如下：
第一行：1
第二行：12
第三行：1123
第四行：11211234
第五行：1121123112112345
…
第k行：先抄寫第1行，接著按原序抄寫第2行，然后按原序抄寫第3行，…，直至按原序抄寫第k-1行，最后添上數k．（如第四行，先抄寫第一行的數1，接著按原序抄寫第二行的數1，2，接著按原序抄寫第三行的數1，1，2，3，最后添上數4）．
將按照上述方式寫下的第n個數記作a_n（如a₁=1，a₂=1，a₃=2，a₄=1，…，a₇=3，…，a₁₄=3，a₁₅=4，…）
（1）用t_k表示數表第k行的數的個數，求數列{t_k}的前k項和T_k；
（2）第8行中的數是否超過73個？若是，用${a_{n_0}}$表示第8行中的第73個數，試求n₀和${a_{n_0}}$的值；若不是，請說明理由；
（3）令S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，求S₂₀₁₇的值．

Answer 1

分析 （1）根據題意先求出{t_k}的通項公式，再根據等比數列的求和公式計算即可，
（2）由${t_k}={2^{k-1}}$得第8行中共有2⁷=128個數，得到第8行中的數超過73個，按上述順序依次寫下的第73個數應是第7行的第73-63=10個數，同上過程知a₇₃=a₁₀=2，即可求出答案，
（3）根據錯位相減法求出得${S_{{2^n}-1}}=-n+2+{2^2}+…+{2^{n-1}}+{2^n}$=2ⁿ⁺¹-n-2，再逐一展開得到S₂₀₁₇=（2¹¹-12）+（2¹⁰-11）+（2⁹-10）+（2⁸-9）+（2⁷-8）+（2⁶-7）+（2⁴-5），即可求出．

解答 解：（1）當k≥2時，t_k=t₁+t₂+…+t_k-1+1，t_k+1=t₁+t₂+…+t_k+1，
于是t_k+1-t_k=t₁，即t_k+1=2t_k，又t₂=2t₁，t₁=1
所以${t_k}={2^{k-1}}$，
故${T_k}=1+2+{2^2}+…+{2^{k-1}}={2^k}-1$．
（2）由${t_k}={2^{k-1}}$得第8行中共有2⁷=128個數，
所以，第8行中的數超過73個，
${n_0}={T_7}+73={2^7}-1+73=200$，
從而，${a_{n_0}}={a_{200}}={a_{73}}$，
由2⁶-2=63＜73，2⁷-1=127＞73，
所以，按上述順序依次寫下的第73個數應是第7行的第73-63=10個數，同上過程知a₇₃=a₁₀=2，
所以，${a_{n_0}}=2$．
（3）由于數表的前n行共有2ⁿ-1個數，于是，先計算${S_{{2^n}-1}}$．
在前2ⁿ-1個數中，共有1個n，2個n-1，2²個n-2，…，2^n-k個k，…，2^n-1個1，
因此${S_{{2^n}-1}}=n×1+（n-1）×2+…+k×{2^{n-k}}+$…+2×2^n-2+1×2^n-1，
則$2×{S_{{2^n}-1}}=n×2+（n-1）×{2^2}+…$+k×2^k+1+…+2×2^n-1-n-2，
兩式相減，得${S_{{2^n}-1}}=-n+2+{2^2}+…+{2^{n-1}}+{2^n}$=2ⁿ⁺¹-n-2．
∴S₂₀₁₇=${S}_{{2}^{10}-1}$+S₉₉₄，
=${S}_{{2}^{10}-1}$+${S}_{{2}^{9}-1}$+S₄₈₃，
=${S}_{{2}^{10}-1}$+${S}_{{2}^{9}-1}$+${S}_{{2}^{8}-1}$+S₂₂₈，
=${S}_{{2}^{10}-1}$+${S}_{{2}^{9}-1}$+${S}_{{2}^{8}-1}$+${S}_{{2}^{7}-1}$+S₁₀₁，
=${S}_{{2}^{10}-1}$+${S}_{{2}^{9}-1}$+${S}_{{2}^{8}-1}$+${S}_{{2}^{7}-1}$+${S}_{{2}^{6}-1}$+S₃₈，
=${S}_{{2}^{10}-1}$+${S}_{{2}^{9}-1}$+${S}_{{2}^{8}-1}$+${S}_{{2}^{7}-1}$+${S}_{{2}^{6}-1}$+${S}_{{2}^{5}-1}$+S₇，
=（2¹¹-12）+（2¹⁰-11）+（2⁹-10）+（2⁸-9）+（2⁷-8）+（2⁶-7）+（2⁴-5）
=3986

點評 本題考查新定義的應用，以及等比數列的通項公式公式和求和公式，以及錯位相減法，考查了學生的運算能力和轉化能力，屬于難題．