Question

13．給出下列不等式：①x≥ln（x+1）（x＞-1）②$\sqrt{x}$＞-$\frac{{x}^{2}}{2}$+2x-$\frac{1}{2}$（x＞0）③ln$\frac{1+x}{1-x}$＞2（x+$\frac{{x}^{3}}{3}$）（x∈（0，1））其中成立的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 ①，構(gòu)造函數(shù)：f（x）=x-ln（x+1）（x＞-1）．利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，即可求出最值，就可判斷；
②，取x=1，$\sqrt{x}$＞-$\frac{{x}^{2}}{2}$+2x-$\frac{1}{2}$（x＞0）不成立，；
③，構(gòu)造函數(shù)g（x）=ln$\frac{1+x}{1-x}$-2（x+$\frac{{x}^{3}}{3}$）（x∈（0，1）），利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，即可求出最值，就可判斷；

解答 解：對(duì)于①，x≥ln（x+1）（x＞-1），構(gòu)造函數(shù)：f（x）=x-ln（x+1）（x＞-1）．f′（x）=1-$\frac{1}{x+1}$=$\frac{x}{x+1}$，可得x∈（-1，0），函數(shù)f（x）遞減，x∈（0，+∞）遞增，故f（x）≥f（0）=0
∴x≥ln（x+1）（x＞-1）成立，故$①\$成立．
對(duì)于②，取x=1，$\sqrt{x}$＞-$\frac{{x}^{2}}{2}$+2x-$\frac{1}{2}$（x＞0）不成立，故②不成立；
對(duì)于③，ln$\frac{1+x}{1-x}$＞2（x+$\frac{{x}^{3}}{3}$）（x∈（0，1）），構(gòu)造函數(shù)g（x）=ln$\frac{1+x}{1-x}$-2（x+$\frac{{x}^{3}}{3}$）（x∈（0，1）），
g′（x）=$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}-2（1+{x}^{2}）$=$\frac{{x}^{4}}{1-{x}^{2}}＞$0，∴g（x）在（0，1）遞增，而g（0）=0，故x∈（0，1）時(shí)，g（x）＞0恒成立，故$③\\;成立$成立．
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查了構(gòu)造函數(shù)，證明不等式，屬于中檔題．