Question

4．已知函數(shù)f（x）對定義域R內(nèi)的任意x都有f（2+x）=（2一x），且當(dāng)x≠2時其導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足xf′（x）＞2f′（x）．若2＜a＜4，則f（log₂a，f（2^a），f（3）的大小關(guān)系為f（log₂a）＜f（3）＜f（2^a）．（用“＜”連接）

Answer 1

分析 由f（x）=f（4-x），可知函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=2對稱，由xf′（x）＞2f′（x），可知f（x）在（-∞，2）與（2，+∞）上的單調(diào)性，從而可得答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）對定義域R內(nèi)的任意x都有f（x）=f（4-x），
∴f（x）關(guān)于直線x=2對稱；
又當(dāng)x≠2時其導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足xf′（x）＞2f′（x）?f′（x）（x-2）＞0，
∴當(dāng)x＞2時，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上的單調(diào)遞增；
同理可得，當(dāng)x＜2時，f（x）在（-∞，2）單調(diào)遞減；
∵2＜a＜4，
∴1＜log₂a＜2，
∴2＜4-log₂a＜3，又4＜2^a＜16，f（log₂a）=f（4-log₂a），f（x）在（2，+∞）上的單調(diào)遞增；
∴f（log₂a）＜f（3）＜f（2^a）．
故答案為：f（log₂a）＜f（3）＜f（2^a）．

點評 本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，判斷f（x）在（-∞，2）與（2，+∞）上的單調(diào)性是關(guān)鍵，屬于中檔題．