Question

13．已知函數f（x）=$\frac{{2}^{x}+m}{{2}^{x}-1}$為奇函數．
（1）求實數m的值；
（2）用定義證明函數f（x）在區(qū)間（0，+∞）上為單調減函數；
（3）若關于x的不等式f（x）+a＜0對區(qū)間[1，3]上的任意實數x都成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據函數的奇偶性求出m的值即可；
（2）根據函數單調性的定義證明即可；
（3）問題轉化為a＜-f（x）對區(qū)間[1，3]上的任意實數x都成立，求出f（x）的最大值，從而求出a的范圍即可．

解答 （1）解：∵f（-x）=-f（x），
∴$\frac{{2}^{-x}+m}{{2}^{-x}-1}$=-$\frac{{2}^{x}+m}{{2}^{x}-1}$，
解得：m=1；
（2）證明：f（x）=1+$\frac{2}{{2}^{x}-1}$，
設0＜x₁＜x₂，
∵f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{{2x}_{1}-1}$-$\frac{2}{{2x}_{2}-1}$=$\frac{4{（x}_{2}{-x}_{1}）}{（{2x}_{1}-1）（{2x}_{2}-1）}$，
又1＜2x₁＜2x₂，2x₁-1＞0，2x₂-1＞0，x₂-x₁＞0，
∴$\frac{4{（x}_{2}{-x}_{1}）}{（{2x}_{1}-1）（{2x}_{2}-1）}$＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函數f（x）在（0，+∞）遞減；
（3）解：∵f（x）+a＜0對區(qū)間[1，3]上的任意實數x都成立，
∴a＜-f（x）對區(qū)間[1，3]上的任意實數x都成立，
∵f（x）在（0，+∞）遞減，
∴f（x）在[1，3]遞減，
∴f（x）的最大值是f（1）=3，
∴-f（x）的最小值是-3，
∴a＜-3．

點評 本題考查了函數的奇偶性、單調性問題，考查函數恒成立問題以及轉化思想，是一道中檔題．