Question

3．已知橢圓C：$\frac{{x{\;}^2}}{a^2}+\frac{{y{\;}^2}}{b^2}$=1（a＞b＞1）的離心率為$\frac{1}{2}$，點P（n，$\frac{3}{2}$）是橢圓C上一點，F(xiàn)為橢圓C的左焦點，若|PF|=$\frac{5}{2}$，則點Q（2n，0）到雙曲線$\frac{x^2}{3}-{y^2}$=1的一條漸近線的距離為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 橢圓C的離心率為$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，則$a=2c，b=\sqrt{3}c$，可得橢圓C的方程為$\frac{{x{\;}^2}}{{4{c^2}}}+\frac{{y{\;}^2}}{{3{c^2}}}=1$．由于點P（n，$\frac{3}{2}$）是橢圓C上一點，|PF|=$\frac{5}{2}$，可得$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{n{\;}^2}}{{4{c^2}}}+\frac{3}{{3{c^2}}}=1}\\{{{（n+c）}^2}+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}}\end{array}}\right.$，解得n，c．又雙曲線$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$的漸近線為$x±\sqrt{3}y=0$，利用點到直線的距離公式即可得出．

解答 解：∵橢圓C的離心率為$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，則$a=2c，b=\sqrt{3}c$，
故橢圓C的方程為$\frac{{x{\;}^2}}{{4{c^2}}}+\frac{{y{\;}^2}}{{3{c^2}}}=1$，
依題意，得$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{n{\;}^2}}{{4{c^2}}}+\frac{3}{{3{c^2}}}=1}\\{{{（n+c）}^2}+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}}\end{array}}\right.$，解得n=1，c=1，
∴Q（2，0），
又雙曲線$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$的漸近線為$x±\sqrt{3}y=0$，
則點Q（2，0）到雙曲線$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$的一條漸近線的距離為$\frac{|2|}{{\sqrt{{1^2}+{{（\sqrt{3}）}^2}}}}=1$．
故選：A．

點評 本題考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、兩點之間的距離公式、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．