Question

【題目】定義域為R的函數(shù)f（x）對任意x∈R都有f（x）=f（4﹣x），且其導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足（x﹣2）f′（x）＞0，則當2＜a＜4時，有（ ）
A.f（2a）＜f（2）＜f（log2a）
B.f（2）＜f（2a）＜f（log2a）
C.
D.

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵函數(shù)f（x）對任意x∈R都有f（x）=f（4﹣x），∴函數(shù)f（x）對任意x都有f（2+x）=f（2﹣x），
∴函數(shù)f（x）的對稱軸為x=2
∵導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足（x﹣2）f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，（﹣∞，2）上單調(diào)遞減
∵2＜a＜4
∴4＜2a＜16
∵函數(shù)f（x）的對稱軸為x=2
∴f（log2a）=f（4﹣log2a）
∵2＜a＜4，∴1＜log2a＜2
∴2＜4﹣log2a＜3
∴2＜4﹣log2a＜2a
∴f（2）＜f（4﹣log2a）＜f（2a），
∴f（2）＜f（log2a）＜f（2a），
故選C
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．