Question

4．已知圓C：x²+y²+Dx+Ey+F=0的圓心在第二象限，半徑為$\sqrt{2}$，且圓C與直線3x+4y=0及y軸都相切．
（1）求D、E、F；
（2）若直線x-y+2$\sqrt{2}$=0與圓C交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）先求出圓C的標(biāo)準(zhǔn)式為：（x+$\frac{D}{2}$）²+（y+$\frac{E}{2}$）²=$\frac{{D}^{2}+{E}^{2}-4F}{4}$，圓心為（-$\frac{D}{2}$，-$\frac{E}{2}$），利用點(diǎn)到直線距離求出各參數(shù)即可；
（2）利用圓心與弦交點(diǎn)的三角形與點(diǎn)到直線距離來求弦長．

解答 解：（1）圓C的標(biāo)準(zhǔn)式為：（x+$\frac{D}{2}$）²+（y+$\frac{E}{2}$）²=$\frac{{D}^{2}+{E}^{2}-4F}{4}$，圓心為（-$\frac{D}{2}$，-$\frac{E}{2}$），
因?yàn)閳AC與y軸相切，即-$\frac{D}{2}$=-$\sqrt{2}$⇒D=2$\sqrt{2}$；
圓C與3x+4y=0相切，即d=$\frac{|3×（-\sqrt{2}）+4×（-\frac{E}{2}）|}{5}$=$\sqrt{2}$⇒E=-4$\sqrt{2}$，
即圓心為（-$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$），
$\frac{{D}^{2}+{E}^{2}-4F}{4}$=2⇒F=8，
綜上：D=2$\sqrt{2}$，E=-4$\sqrt{2}$，F(xiàn)=8；
（2）由（1）知圓心（-$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$），R=$\sqrt{2}$，
由點(diǎn)到直線距離知d=$\frac{|-\sqrt{2}-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=1，
所以$\frac{|AB|}{2}$=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-{1}^{2}}$=1，
故|AB|=2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓與直線相切以及點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)點(diǎn)，屬基礎(chǔ)題．