Question

9．過直線L：x+y-4=0上一動點(diǎn)P作圓O：x²+y²=4兩切線，切點(diǎn)分別為A、B，則四邊形OAPB面積的最小值為4．

Answer 1

分析 四邊形PAOB為2個對稱的直角三角形構(gòu)成，由OA與OB為圓的半徑，其值固定不變，得到當(dāng)PO最小值，四邊形PAOB的面積最小，即圓心到直線的距離最小，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出PO的長，利用勾股定理求出此時AP的長，利用三角形的面積公式求出兩直角三角形的面積，即為四邊形PAOB面積的最小值．

解答 解：由圓x²+y²=4，得到圓心O坐標(biāo)為（0，0），半徑r=2，
又直線x+y-4=0，
∴|PO|_min=$\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，又|OA|=2，
∴在Rt△AOP中，利用勾股定理得：|AP|=2，
則四邊形PAOB面積的最小值S=2×$\frac{1}{2}$×|OA|×|AP|=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評 此題考查了直線與圓方程的應(yīng)用，涉及的知識有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，勾股定理，以及三角形面積的求法，其中根據(jù)題意得到|PO|的最小時，Rt△APO面積最小是解本題的關(guān)鍵．