已知數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a1=1，且a3是a1和a9的等比中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，f(n)=
Sn(n+18)Sn+1
，試問(wèn)當(dāng)n為何值時(shí)，f（n）最大？并求出f（n）的最大值．
分析：（1）利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）由（1）利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得Sn，再利用基本不等式即可得出f（n）．
解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d≠0，∵a1=1，且a3是a1和a9的等比中項(xiàng)，∴
a
2
3
=a1a9．
化為（1+2d）2=1×（1+8d），化為d2-d=0，∵d≠0，∴d=1．
∴an=1+（n-1）×1=n．
（2）由（1）可得：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=
n(n+1)
2
．
∴f(n)=
Sn
(n+18)Sn+1

=
n(n+1)
2
(n+18)×
(n+1)(n+2)
2

=
n
(n+18)(n+2)
=
1
n+
36
n
+20
≤
1
2
36
+20
=
1
32
，當(dāng)且僅當(dāng)n=6時(shí)取等號(hào)．
因此當(dāng)n=6時(shí)，f（n）取得最大值
1
32
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、基本不等式，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

定義一個(gè)“等積數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它后一項(xiàng)的積都是同一常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫“等積數(shù)列”，這個(gè)常數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1=2，公積為5，則這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的計(jì)算公式為：
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

按照等差數(shù)列的定義我們可以定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和．已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1=2，公和為5，那么a8的值為
3
3
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在一個(gè)數(shù)列中，如果?n∈N*，都有an•an+1•an+2=k（k為常數(shù)），那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，k叫做這個(gè)數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1=1，a2=3，公積為27，則a1+a2+a3+…+a18=
78
78
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

一個(gè)數(shù)列，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和．已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1=2，公和為5，那么這個(gè)數(shù)列的前21項(xiàng)和S21的值為
52
52
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知等差數(shù)列的定義為：在一個(gè)數(shù)列中，從第二項(xiàng)起，如果每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公差．
（1）類比等差數(shù)列的定義給出“等和數(shù)列”的定義；
（2）已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1=2，公和為5，求 a18的值，并猜出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式（不要求證明）．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案