Question

如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，CC₁=4，點(diǎn)E在棱DD₁上，．
（1）若BD₁∥平面ACE，求三棱錐E-ACD的體積；
（2）若DE=1，求二面角B₁-AC-E的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)EO，由已知得E為DD₁中點(diǎn)，由此能求出三棱錐E-ACD的體積．
（2）由已知得∠B₁OE為二面角B₁-AC-E的平面角，由此能求出二面角B₁-AC-E的余弦值．

解答： 解：（1）連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)EO，
∵BD₁∥平面ACE，∴BD₁∥EO，又O為AC中點(diǎn)，
∴E為DD₁中點(diǎn)，…（4分）
∴三棱錐E-ACD的體積V=

1

3

ED×S△ACD=

4

3

．…（6分）
（2）∵△B₁AC與△EAC都為等腰三角形，O為AC中點(diǎn)，
連結(jié)B₁O，EO，則B₁O⊥AC，EO⊥AC，
∴∠B₁OE為二面角B₁-AC-E的平面角，…（9分）
在△B₁OE中，EO=

3

，B1O=3

2

，B₁E=

17

，
由余弦定理，得cos∠B1OE=

6

9

，
∴二面角B₁-AC-E的余弦值為

6

9

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三棱錐的體積的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．