Question

【題目】對(duì)于正整數(shù)集合，如果去掉其中任意一個(gè)元素之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個(gè)交集為空集的集合，且這兩個(gè)集合的所有元素之和相等，就稱集合為“和諧集”．

（）判斷集合是否是“和諧集”（不必寫過程）．

（）請(qǐng)寫出一個(gè)只含有個(gè)元素的“和諧集”，并證明此集合為“和諧集”．

（）當(dāng)時(shí)，集合，求證：集合不是“和諧集”．

Answer 1

【答案】(1) 集合不是“和諧集”.

(2) 集合是“和諧集”；證明見解析.

(3)證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)定義，判斷集合{1，2，3，4，5}不是“和諧集”；（2）集合，根據(jù)定義驗(yàn)證即可；（3）不妨設(shè)，將集合分成兩個(gè)交集為空集的子集，且兩個(gè)子集元素之和相等，則有①，或者②，

將集合分成兩個(gè)交集為空集的子集，且兩個(gè)子集元素之和相等，

則有③，或者④，由定義得出矛盾即可證明結(jié)論.

（）集合不是“和諧集”．

（）集合，

證明：∵，

，

，

，

，

，

，

∴集合是“和諧集”．

（）證明：不妨設(shè)，將集合分成兩個(gè)交集為空集的子集，且兩個(gè)子集元素之和相等，則有①，或者②，

將集合分成兩個(gè)交集為空集的子集，且兩個(gè)子集元素之和相等，

則有③，或者④，

由①③得，矛盾，由①④得，矛盾，由②③得矛盾，由②④得矛盾，

故當(dāng)時(shí)，集合一定不是“和諧集”．